6定积分的概念.PPTVIP

定积分的几何意义 * §6.1 定积分的概念与性质 一.两个实例 1.曲边梯形: 由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形 y=f(x) a b 0 x y 怎样求面积呢？ 思想方法 （1）分割：将曲边梯形分成许多细长条 在区间[a,b]中任取若干分点： 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间： 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 x y 0 y=f(x) （2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形 x y 0 y=f(x) ξ ｉ f(ξ) ｉ （3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。 把n个小矩形的面积相加得和式 它就是曲边梯 形面积A的近似值，即 x y 0 y=f(x) ξ ｉ f(ξ) ｉ （4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 小区间长度最大值趋近于零，即|| || 0（|| ||表示 这些小区间的长度最大者）时，和式 的 分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当 极限就是A，即 可见，曲边梯形的面积是一和式的极限 x y 0 y=f(x) ξ ｉ f(ξ) ｉ a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 基本思路：变“曲”为“直” 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 2 路程问题 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间 解决变速运动的路程的基本思路 （1）分割 （3）作和 （4）取极限 路程的精确值 (2) 取点 二、定积分的定义 定义： 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间 [a,b]中任取分点 将区间[a,b]分成n个小区间 ，其长度为 如果不论对区间[a,b]采取何种分法及 如何选取，当 n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和 式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积， 并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 即 （1） 注意： 利用极限的“ ”的说法，将定积分的 定义精确表述如下： 是 的全体原函数 是函数族 是一个和式的极限 是一个确定的常数,而 并规定： （5） 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b x y o o y a b x 几何意义 x y o 与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在 上连续，则定积分 的值 4. 中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线 综合举例 3.定积分 应用 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2-1 例2： 解： x y f(x)=sinx 1 -1 判断下列定积分的正、负号。 例4 说明下列各式成立： 1）． 2）. 1）． 2）. 例3 例5 试用定积分表示下图中影阴部分的面积。 y 0 x y=f(x) y=g(x) a b 例6 利用定义计算定积分 解 (1) 分割 （2）取点 （3）求和 （4）求极限 例7 x 1 y 面积值为圆的面积的 对定积分的补充规定: 三. 定积分的性质 （可以推广到有限多个函数） 性质1 性质2 注意：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 性质3