9定积分的概念.PPTVIP

第九章定积分 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、小结 思考题 练 习 题 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 73 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 83 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 93 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 103 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 113 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 123 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 133 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 143 １．定积分的实质：特殊和式的极限． 分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 * 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。 重点 难点 定义及换元法和分部法的运用 定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法 基本要求 ①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理， 并会用N-L公式计算定积分， ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法 ⑤正确理解两类广义积分概念， 并会用定义 计算一些较简单的广义积分。 计 算定积分 实例1 （求曲边梯形的面积） 求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积 将其置于直角 坐标系下考察 o x y a b A B m n 问题归结为AmBbaA与AnBbaA 的面积之差 曲边梯形 a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 曲边梯形如图所示 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 （1）分割 问题 以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 [a,b] 所走过的路程 归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程） 解决方法： 通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限 类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到） 这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念 定义 记为 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 积分和 注意： 定理1 定理2 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义 几何意义： 解 例1 利用定义计算定积分 例2 利用定义计算定积分 解 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点 等比数列 证明 利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 3 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 13 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 23 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系