BB_多元函数的基本概念.PPTVIP

高等数学 第七章 第一节 一、平面点集 函数 若函数 ? 若当点 例7. 讨论函数 3. 多元函数的极限 * 主讲教师: 王升瑞 第十九讲 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 第八章 一、平面点集 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 多元函数的基本概念 如一元函数中，点P与数 之间的关系。 当平面引进了一个直角坐标系后，平面上的点 与有序实数组 之间就建立了一一对应的关系。 二元函数中对应的点 的全体构成了坐标平面。 记为： 由集合的概念得： 若平面点的集合E由具有某种性质的点 的元素 的全体组成记为： 如： 邻域： 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 邻域和区域是研究多元函数时经常要用到的两个 基本概念。 下面主要在平面和空间直角坐标系中引入。 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? 二、二元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 则称 u 为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 若对D 内的任意一点P, 变量 u 按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应， 表示对应法则，此法则也可用 其他字母来表示，函数也可记成 等 同样自变量 和因变量 也可换成其他字母。 设点 是 定义域内的一点， 有唯一 确定的值与它对应。 这个值就称为二元函数 在点 处的函数值，记着; 用点函数表示： 在点 处的函数值： 在点 处对应有函数值存在， 则称此函数在点 处是有定义的，否则称此函数 在点 处无定义。 若函数 在平面D域中点点有定义，则称 在平面D 域中定义。 例1：求 的定义域，并作其图形。 解：由反三角函数的定义知： 其点集介于直线 之间 例如, 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 的图形一般为空间曲面 ? . 说明 三、二元函数的极限 定义2. 设 二 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 二 重极限) 若记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的内 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 例1. 设 求证： 证: 故 或 例3 例4 例5 求 解: 此函数定义域 不包括 x , y 轴 则原式＝ 求极限 解 其中 例6 函数趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定 以不同方式趋于 函数极限不存在 . 注 (1) 二元函数求极限中，点 必须是以任何方式都有 (2) 有关一元函数极限的运算法则和定理,以及 无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数. 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 解: 此函数必有 1. 当点 2. 当点 确定极限不存在的方法： 四、 二元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 二元函数在点 P0 处连续性的表达方法: 2. 全增量 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. *