Ch离散型随机变量及分布().PPTVIP

若对固定的 j, p. j 0, 则称 i= 1, 2, … 为Y＝ yj 的条件下，X的条件分布律。 记为 pi | j＝ Stop Ch2 离散型随机变量 ? 随机变量的概念 定义 设随机试验E的样本空间是?，若对每个???，有定义在?上的一个实数X(?)与之对应，称这样一个定义在?上的单值实函数X＝X(? )为随机变量（Random Variable），简记为 r.v. X。 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等表示 ，也可用希腊字母?、?、?等表示。 ? 一维离散型随机变量的分布律 定义 全部可能取值为有限个或可列无限个的随机变量为离散型随机变量。 即全部可能取值至多为可列无限个的随机变量为离散型随机变量。 若X为离散型随机变量， 其取值为x1, x2, …, xn, …， X取每个可能值的概率为 也可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 概率分布表 或 (1) pk ? 0, k＝1, 2, … ; 分布律的性质 例 设袋中有5只球，编号为1、2、3、4、5，在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码。试写出X的分布律。 例 设X的分布律为：P(X=k)=a( )k，k=1,2,3， 求a。 ? 几个常见的离散型分布 1. 退化分布(单点分布) X～P{X＝a}＝1，其中a为常数。 即 X a P 1 2. (0－1)分布(两点分布) 或 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0 p 1) k＝0，1 X 0 1 P 1-p p 3. 几何分布 一次试验中只考虑某事件A出现或不出现，设P(A)=p， P(A)=1-p。现重复独立地做试验，一旦A发生就立即停止试验。 以X表示A首次发生所需的试验次数，则其分布率为： X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0 p 1) k＝1, 2, … 称X服从参数为p的几何分布。 4. 二项分布B(n, p) 以X记n重贝努里试验中A发生的次数，则其分布率为： 称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X~B(n，p) 例 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为0.01。问在同一时刻： （1）恰有两个设备被使用的概率是多少； （2）至多有三个设备被使用的概率是多少？ 例 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。 （1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 5. 泊松(Poisson)分布 P(?) 若随机变量X的所有取值为一切非负整数，且其分布律为： 其中? 0为常数，称X服从参数为?的泊松(Poisson)分布，记为X~P(?)。 若X(t)表示在时间区间[0，t ]中某服务台到达的顾客数。若X(t) 满足： （1）在不重叠的时间区间内到达的顾客数相互独立（无后效性）； （2）在时间区间[a，a+t]内到达的顾客数只与时间长度有关，而与区间起点a无关（平稳性）； （3）当t充分小时，在区间（a，a+t）内到达两个或两个以上的顾客不可能（普通性）； （4）在有限区间中只到达有限个顾客且不可能始终没有顾客到达（非平凡性）。 定理 在上述条件下，在长度为t的时间区间上到达的顾客数X(t)服从参数为?t的Poisson分布，其中??0是一个常数。 6. 负二项分布 以X记可列重贝努里试验中A恰好发生r次所需的试验次数，则其分布率为： 称X服从参数为(r，p)的负二项分布，记为X~NB(r，p) 负二项分布又叫帕斯卡(Pascal)分布 7. 超几何分布 设N个元素分为两类，其中M个属于第一类，N?M个属于第二类。现从中按不重复抽样取n个，以X记这n个中属于第一类元素的个数。则X的分布律为： 称X服从参数为(N，M，n)的超几何分布。 ? 常见分布律之间的关系 1. (0－1)分布和二项分布的关系 (0－1)分布是二项分布B(n, p)中n＝1时的特款。 2. 几何分布和负二项分布的关系 几何分布是负二项分布NB(r, p)中r＝1时的特款。 3. 超几何分布和二项分布的关系 定理 设在超几何分布中，n是一个取定的正整数， 而 ，则 k＝0, 1, 2, …, n 即 当N充分大时，超几何分布趋向于二项分布。 事实上：超几