C函数及其性质.PPTVIP

第一章 第一节 一、 函数的概念 集合表示法： 半开区间 集合之间的关系及运算 定义 给定两个集合 A, B, （二） 函数的概念 4. 初等函数 5. 分段函数 例3 已知分段函数 例4 求 二、函数的性质 3. 奇偶性 又如, 4. 周期性 内容小结 备用题 * 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数的极限与连续 第一章 一、函数的概念 二、函数的性质 函数及其性质 三、建立函数关系举例 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 （一） 集合、区间与邻域： 定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 无限区间 点a 的? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 点a 的去心 ? 邻域 点a 的左? 邻域 : 右? 邻域 : 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 定义 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如 , 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合A 、B， 记作 记作 必有 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: A的余集 直积 特例: 记作 为平面上的全体点集. 或 1. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量, D 是R 的非空子集,任意 变量 y 按照某个对应关系( 如f )有唯一确定的实数与之对应( 记作f (x) )，则称 y (= f (x) )是定义在D上的函数. 称为函数的值域. 称 x 为自变量，称 y 为因变量， D称为函数y (=f (x) )的定义域，数集 f ( D ) = 函数图形是点集: (对应关系) (值域) (定义域) 定义域: 是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. 对应关系的表示方法，即为函数的表示法，常用的方法有：表格法、图示法及公式法（解析法） . 确定函数的两要素：由定义可知， 两个函数只有它们的对应关系、定义域都相同时，才是同一个函数. 如绝对值函数 定义域 值 域 与 函数 g (x) = x, 定义域 D = R, 值域 f ( D ) = R, 虽然定义域相 同, 但在 x 0 时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数. 但f (x)与 则是同一个函数. 在函数的解析法表示中, 除一般的表达式外，还包括分段函数（后面详讲）、参数式函数和隐函数. 2 . 基本初等函数及其图象: 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 以上函数称为基本初等函数. (注意:其他函数都不是) 3. 复合函数 则任意 可得到一个以x 为自变量、y 为因变量 的函数 , 和 合函数. 的复 称为中间变量. 是它的定义域 , 通过 变量 y 有确定的值 与之对应, 记作 的定义域为 而 该函数称为 u 设函数 的定义域为 且其值域 例如, 函数 函数 不能构成复合函数 . 可定义复合 注意：(1)??不是任意两个函数都可以复合成 (2)复合函数还可以有两个以上函数的复合而成. = [ 0 , 1 ] 复合函数,如函数 例如, 可定义复合函数: (1)会将几个函数复合成复合函数; 学习复合函数的要求: (2)分析复杂函数的构造并会将其分解. 例1 设函数 求 解 例2 分别指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的. (1) 解 该函数由 (2) 解 该函数由 (3) 解 该函数由 复合而成. 复合而成. 复合而成. 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算 和复合步骤所构成 , 称为初等函数 . 可表为 故为初等函数. 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . 如果一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子来表示，这样的函数称为分段函数． 注意：分段函数除个别外， 一般不是初等函数． 如：符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 显然，符号函数不是初等函数 . 求 及 解 函数无定义 并写出 f (x) 定义域及值域 . f (x)定义域 f (x)值域 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 反函数 定义域