D_可降阶的微分方程.PPTVIP

第四节 一、 例1. 二、 例2. 求解 例3. 三、 例4. 求解 思考题1. 解初值问题 思考题2. 内容小结 思考与练习 作业 备用题 * * 可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解: 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 99 考研 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P349 1 双数； 3 . 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 速度 大小为 2v, 方向指向A , 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 又由于 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件. ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束