rv的函数的分布.PPTVIP

概率论 概率论 第五节 r.v.的函数的分布 问题的提出 d.r.v.的函数的分布 c.r.v.的函数的分布 小结 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 也很感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 再比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等. 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 二、d.r.v.函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 故 如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般地，若X是d.r.v. X 的分布律为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 如： X ～ 则 Y=X2 的分布律为： Y ～ 三、c.r.v.函数的分布 解 设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 例3 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度. 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0 ，故当 y 0 时， . 解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 求导可得 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 例如，用 代替 {2X+8 ≤ y } { X } 用 代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 例4 设随机变量X的概率密度为 求 Y = sinX 的概率密度. 当 y 0 时, 当 y 1时, 当 时 故 解 注意到, 当 0 y 1 时, =P(0 X arcsiny) +P( - arcsiny X ） 求导得: 例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增. 证明 设 Y 的分布函数是 G(y) , 于是 对 y 1 , G (y) = 1; 对 y 0 , G (y) = 0; 由于 对0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ (y)) =F( (y))= y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见, Y 在[0,1]上服从的均匀分布. 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 其中x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 . 定理 设 X是一个连续型随机变量，具有概率密度 f(x), 又设y=g(x)处处可导，且对于任意 x, 恒有 或恒有 ，则Y=g(X)是一 个连续型r.v，它的概率密度为 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 例6 设 X ~ 求 Y =eX 的分布. y = ex 单调可导,值域y0, 反函数 x = h(y) = lny, 所以当 y 0 时, 由此得 解： 例7：已知 求 的p.d.f. 解： 其反函数 此性质称为正态变量的线性不变性。 特别地，若取 得： 四、小结 对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一