第3讲计算机图形学基础-图形变换讲述.pptx

3.1．二维图形变换 3.1.1 二维图形基本变换 3.1.2 图形齐次变换 3.1.3 二维图形变换汇总 3.2．三维图形变换 3.2.1 三维图形基本变换 3.2.2 三维图形组合变换 3.3．坐标变换 3.4、三维投影变换 3.5、图形显示流程（选学） 3.5.1 二维观察变换及图形显示流程 3.5.2 三维观察变换及图形显示流程 第3讲 计算机图形学基础 —— 图形变换 1．掌握CAD系统中图形变换的原理 2．了解CAD系统中图形的显示流程 本章目的 思考问题： 1）在CAD软件中图形的平移、旋转是如何实现的 ? ? 2）如何实现零件形体从数学定义到屏幕显示？？ 3.1 二维图形变换 在工程绘图CAD系统中，二维图形变换是最常用的功能。 二维图形变换可通过矩阵乘法运算来实现，令矩阵 ： 则有： 这里[x’,y’]为变换后点的坐标，[x,y]为变换前点的坐标，T为变换矩阵，矩阵中a,b,c,d取值不同，可实现各种不同变换。 二维图形的基本几何变换包括： 比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换等 二维比例变换 在变换矩阵 中，令 b = c = 0， 则比例变换为： 式中a，d分别为x，y方向上的比例因子 二维对称变换 1）对y轴对称: 2）对X轴对称: 3）对坐标原点对称: 3.1.1 二维图形基本变换 由式 可知： 二维旋转变换 在二维空间里，我们规定：图形的旋转是指绕坐标系原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵为： 对右图字母 T 绕坐标原点进行旋转变换（旋转60°)，则变换后的坐标为： 旋转变换举例 二维平移变换 但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关系： 上述四种变换都可以通过 2 X 2变换矩阵 来实现， 式中△x，△y是平移量，为常数，应用前述变换矩阵对点进行变换： 上式中的cy，bx均非常量，因此用原来的2×2矩阵无法实现平移变换。 解决方法：将变换矩阵增加一行一列，则可对点进行平移变换 思考：前面的变换能实现图形的平移吗 ? ? 平移变换将[x y]扩充为[x y 1] 实际上是由二维向量变为三维向量。 这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。 所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。 齐次变换定义 将Oxy坐标系增加w轴。在 w = 1 的平面上有点 P1(x,y,1), 当w由0变化到无穷时，齐次坐标 Pw(xw,yw,w) 将处在由OP1定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w＝1平面上的交点： 齐次变换几何意义 二维齐次变换表示在 w = 1 平面上点的变换，即 P1 到 P1* 的坐标变换。 3.1.2 二维图形齐次变换 二维齐次变换: 二维齐次变换矩阵为： 其中2×2阶矩阵 可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换； 1×2阶矩阵 可以实现图形的平移变换； 2×1阶矩阵 可以实现图形的透视变换， 而[s]可以实现图形的全比例变换。 二维点的齐次变换： 3.1.3 二维图形变换汇总表 平移变换实例: 二维组合变换： 前面介绍的几种变换可用统一的变换矩阵来实现，称之基本变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由多次基本变换组合才能实现，称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。 设坐标P经过n次变换T1, T2, …, Tn到 P*，则变换结果为： P* = P T1 T2 … Tn = P T 式中，T = T1 T2 … Tn 为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。 绕任意点旋转变换: 平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角需要通过组合变换实现，步骤如下： (1)将旋转中心平移到原点; (2)将图形绕坐标系原点旋转θ角; (3)将旋转中心平移回到原来位置。 组合变换矩阵的顺序不能颠倒，顺序不同，则变换的结果亦不同，如右图。 组合变换矩阵： 于是： P′= P Tc r 3.2 三维图形变换 三维几何形体可由一系列点集和这些点集之间的边连接关系来表达。 当一个形体在坐标系中平移、旋转时，只是通过三维图形变换改变点集的坐标位置，而不改变各点边之间的任何连接关系。 （注：CAD系统中