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* 第四章 刚体力学 * P * O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一 力矩 4. 2 刚体定轴转动定律 O 讨论 1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和 其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩 3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 O O 二 转动定律 2）刚体 质量元受外力 ，内力 1）单个质点 与转轴刚性连接 外力矩 内力矩 O 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 定义转动惯量 O 三 转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量 ：质量元 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 对质量体分布的刚体： ：质量体密度 ：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量 O′ O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO′ 为 处的质量元 例3 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O′ O 如转轴过端点垂直于棒 o R 例4 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解： r dr 四 平行轴定理 P 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 . 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 C O 注意 圆盘对P 轴的转动惯量 O 例5 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 再求线加速度及绳的张力. 静止落下距离 时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为 A B C A B C O O 解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 . 如令 ，可得 （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 A B C （3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 ，转动定律 结合（1）中其它方程 A B C 例题6 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 m1 m2 T2? T1? T1 T2 G2 G1 a a a m1 m2 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为 T2、 T2’(T2’= T2) 因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的方向垂直纸面向外。可列出下列方程 式中?是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得 m1 m2 T2? T1? T1 T2 G2 G1 a a a m1 m2