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数学物理方法 河北大学电子信息工程学院 王培光 高春霞 刘素平 第一篇 复变函数论第1章 复数与复变函数 1.1 复数的概念及其表示方法 1.2 复数的基本代数运算 1.3 复球面与无穷远点 1.4 复变函数 1.5 复变函数的极限与连续 第一节 复数的概念及其表示方法 定义1 注意 复数是无序的，一般不能比较大小，只能说复数相等与否.两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.特别地，一个复数等于当且仅当它的实部和虚部分别等于 0 表示方法 第五节 复变函数的极限与连续 注意 * * 定义2 代数表示 几何表示 点表示 一一对应的关系 向量表示 概念 三角表示 指数表示 例一将复数 化为三角形式和指数形式 第二节复数的基本代数运算 四则运算 显然，复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律 由此可以得到共轭复数的下列运算性质： 几何意义 对于复数的乘除运算，设 乘幂 方根 第三节 复球面与无穷远点 我们将模为有限的复数与复平面上的有限远点一一对应了起来，而在复变函数论中，通常还需要将模为无穷大的复数与复平面上的一点也对应起来，并称这一点为无穷远点 无穷远点 将一个球放在复平面上，并使该球以南极S与复平面相切于原点.对于复平面内任意一点，用一条直线将与球的北极相连，交球面于点，如图所示，这样，复平面上的有限远点便与球面上除之外的点形成了一一对应，即 复平面上的所有有限远点 球面上除之外的点. 我们称这种对应关系为测地投影. 测地投影最初是在天文学中引入的，后来又被应用在地理学中，利用测地投影，我们可以把天球或地球表示在平面上. 当复平面上的点的模越来越大时，它在球面上的测地投影越来越接近于北极，而球面上只有一个北极，因此我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，记作，它通过测地投影与球面上的北极一一对应,即 复平面上的无穷远点 球面上的点 表示，也可以用复球面上的点来表示. 我们称这样的球面为复球面.因此，复数不仅可以用复平面上的点来 第四节复变函数 区域的相关概念 邻域 内点 外点 边界 区域 区域是指满足下列两个条件的点集： （1）全部由内点组成（开集）； （2）具有连通性，即点集内任意两点都可以用一条折线连接起来，而且折线上的点全都属于该点集. 区域可用符号D来表示 闭区域 内点、外点、边界点的关系如下图所示 例一 简单曲线（Jordan曲线） 简单闭曲线 若简单曲线C的两个端点重合，则称为简单闭曲线. (a)简单、闭 (b)简单、不闭 (c)不简单、闭 (d)不简单、不闭 单通区域 对于复平面上的区域D，若在其中任作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D，则称D为单连通区域，简称单通区域. 复通区域 一个区域不是单通区域，则为复通区域(或多通区域).对于复通区域，我们总可以通过作一些适当的割线将复通区域不相连的边界连接起来，从而使复通区域单连通化，如下图所示. 区域边界的正方向 通常约定：（当人）沿边界环行时，若包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界的正方向. 对于有界的单通区域，逆时针方向即为正方向，而复通区域的外边界逆时针方向为正方向，内边界顺时针方向为正方向 复变函数 定义