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* 高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学 第一章 多元函数微分学 第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 知道二元函数的泰勒公式形式。 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。 一. 全 导 数 多元函数经复合运算后, 一般仍 是多元函数, 但也可能成为一元函数. 按前面关于多元函数的讨论方法, 复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始. 这就是全导数问题. 第五节 多元复合函数微分法 下面看另一种解法. 例 解 例 解 你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？ + 将例中的情形进行一般性的描述 由此可推至一般的情况 定理(全导数公式) + 全导数公式图示 定理(全导数公式) 现在证明定理 由 的可微性, 有 从而 由一元函数导数导定义, 取 的极限: 证 给 x 以增量 , 相应地有 由 可导, 故必连续, 从而 时, 定理获证 为什么取 绝对值 ? 设 , 求 令 则 例 解 设以下函数满足定理的条件, 写出二元和三元函数的全导数公式: 请同学自己写 例 开始对答案 你做对了吗 ? 二. 链导法则 一般多元复合函数的求导法则 假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面的导数： 将 y 看成常数 将 x 看成常数 分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 从上面的作法可以看出, 将复合的多元函 求函数偏导数. 全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是 数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用 你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ? 定理 设 在点 对应点 可微, 则复合函数 在点 处可导, 且 处均可导, 且 在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数 定理 设 在点 对应点 可微, 则复合函数 在点 处可导, 且 处均可导, 且 在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数 该定理可视为全导数定理的推广: 看成常数,运用全导数公式, 将求导记号作相应改变即可证明该定理. 将诸 设 满足 定理的条件, 则有 例 设 求 例 解 设 求 例 解 设 求 令 则 关于 u 的 一元函数 例 解 设 求 自己做 例 解 设 其中 求 令 则 例 解 设函数 均可微, 求 g ? g 例 解 设函数 均可微, 求 g ? g 例 解 *