_线性方程组与向量的线性相关.PPTVIP

本章主要研究以下三个问题 : （1）线性方程组有解的充分必要条件是什么？ （2）如果线性方程组有解，其有多少解？如何求得其解？ （3）如果线性方程组有多个解，如何将其解用通解表示出来？ 一、齐次线性方程组有解的研究 三、线性方程组的解法 四 思考题 思考题解答 3.3 几个重要的定理： 3.4 极大线性无关组与向量组的秩 １、极大线性无关组 ②　　　　　　　　　　　　　　线性相关. 若满足： 设　　　　　是一个向量组，它的某一个部分组 ①　　　　　　　　线性无关； 则称　　　　　　　　为Ａ的一个极大线性无关组. ④　一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. ①　一个向量组的极大无关组不是唯一的. ⑤　一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身. ③　一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑦　零向量组构成的向量组不存在极大无关组. ⑧　任何非零向量组必存在极大无关组. ⑨　任何ｎ维向量组　　　　　如果线性无关，那么它 就是　中的极大无关组. ⑩　显然ｎ维向量组　　　　　就是　中的极大无关组. ②　向量组与它的任一极大无关组等价. ⑥　一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集. 定理 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ)　或 一个向量组的任意两个极大无关组必等价，且 所含向量个数相等． 定义 2.向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵 Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为： Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为： 定理 1、向量组　　　　　线性无关，证明： 线性无关. 2、向量组　　　　　线性无关，证明： 线性无关. 中线性相关的是（ ） A、　　　,　　　, 3、已知向量组 线性无关，则下列向量组 B、　　　,　　　, C、　　　,　　　, D、　　　,　　　, 3. 应用举例 例４设 所以 线性无关 试讨论　　　　及　　　　　秩及线性相关性. 线性相关 例５已知 设 证明 线性无关. 解 且 解 故原方程组的通解为 确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数： 小鸟重心在空间的位置参数 小鸟身体的水平转角θ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 １、引入 一、ｎ维向量（Vector） 小鸟身体的质量ｍ 鸟翼的振动频率ｔ 还有… 3.1 线性组合与等价向量组 ２、定义 ｎ个数　　　　　组成的有序数组 称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量（坐标）. 记作 如： ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 如： 记作α,β,γ. ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， （Row Vector） （Column Vector） 注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明时，都当作实的列向量. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、长度为１的向量称为单位向量（Identity Vector）. 4、维数相同的列（行）向量同型. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. ３、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 5、对应分量相等的向量相等. ４、向量与矩阵的关系 其第ｊ个列向量记作 ｍ个ｎ维行向量. 按行分块 按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 其第ｉ个行向量记作 矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清. 二、向量的运算 1、加法 规定 2、数乘 规定 称为数ｋ与向量α的数量积. 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量. 4、乘法 对于ｎ维行向量 为一阶方阵，即一个数. 为ｎ阶方阵； 3、转置 5、运算规律 （1） 　 （交换律） （2） 　（结合律） （3） （4） （5） （减法） (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （6） （7） （8） （9） 三、应用举例 例１ 设ｎ维向量　　　　　　　　　　，矩阵 ，其中Ｅ为设ｎ阶方阵， 证明： 证明： 例２ 设 求 解: 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 四、向量组、矩阵、线性方程组 向量组　　　　　　　称为矩阵Ａ的列向量组. 对于一个 矩阵有ｎ个ｍ维列向量. 记作： 向量组　　　　　　　　为矩阵Ａ的行向量组． 类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量. 　　反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 构成一个　　　矩阵. ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组 也构成一个　　　矩阵. 矩阵与向量组之间一一