_集合与实数集.PPTVIP

第二节 一、集合及其运算 表示法： 2. 集合之间的关系 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 半开区间 * 第一章 二、实数集及其完备性 一、集合及其运算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与实数集 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如 , 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 3. 集合的运算法则 为任意三个集合, 则下列法则成立: (1) 交换律 A∪B =B∪A, A∩B =B∩A ; (2) 结合律 ( A∪B ) ∪C = A ∪( B ∪C ) , ( A∩B ) ∩C = A ∩( B ∩ C ) ; (3) 分配律 ( A∪B )∩C = ( A ∩ C )∪( B ∩ C ) , ( A∩B )∪C = ( A ∪C ) ∩( B ∪ C ) ; (4) 对偶律 (A∪B)C = AC ∩ BC , (A∩B)C = AC ∪ BC ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、实数的性质 实数的性质: 1. 实数对加减乘除运算是封闭的; 2. 实数是有序的; 3. 实数具有稠密性; 4. 实数与数轴上的点一一对应. 二、实数集及其完备性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、常用的不等式 (1) 绝对值不等式 运算性质 绝对值不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 伯努利(Bernoulli)不等式 (3) 平均值不等式 用数学归纳法可证上面两个不等式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 开区间 闭区间 3、区间与邻域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 4、确界与确界原理 对于有限数集,一定有最大值和最小值. 如, 但对于无限数集,就未必有最大值和最小值. 如, 没有最大值和最小值. Maximum minimum 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1: 设E为一非空数集, 如果存在数M, 使得对 则称M是E的一个上界 下界 若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集, 否则就称为无界数集. 思考: 若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界 是否唯一? 2. 是否任何一个数集都有上(或下)界? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *