§ 因式分解定理.PPTVIP

* 上页 下页 返回 结束 * §5 因式分解定理 在不同数域内，形式上相同的因式的分解不同. 例如：在有理数域Q内， 在数域 或实数域R内， 在复数域C内， 定义8 数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约 多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积. 注1 显然，一次多项式都是不可约多项式. 注2 是实数域上的不可约多项式， 但在复 数域C上， 因而不是不可约的 . 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的. 注3 p(x)为不可约多项式 p(x)只有非零常数与它自身的非零常数倍cp(x)这 两种 . ( c ≠ 0 ) 注4 不可约多项式 p(x)与任一多项式 f (x)之间只 可能有两种关系： （1）p(x)| f (x)； （2）( p(x), f (x)) = 1. 事实上， 设( p(x), f (x)) = d(x)，则d(x)=1或d(x)= cp(x) (c ≠ 0) . 当d(x) = cp(x)时，就有 p(x)| f (x) . 不可约多项式的重要性质 定理5 如果p(x)是不可约多项式，则对于任意的两个多 项式 f (x) , g(x)，由 p(x)| f (x)g(x)一定推出 p(x)| f (x)或 者 p(x)| g(x) . 证明： 如果 p(x)| f (x)，那么结论已经成立 . 如果 又因为p(x)是不可约多项式，则 于是由定理4即得 p(x) | f (x) . 注 利用数学归纳法，上述定理可以推广为： 若不可约多项式 p(x)整除一些多项式 的乘积 则存在 使得 因式分解唯一性定理 数域P上每一个次数≥1的多项式 f (x)都可以唯一 地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 . 注 所谓唯一性是说，如果有两个分解式 则s = t，且适当排列因式的次序后有 其中 是一些非零常数. 对 f (x)的次数作（第二）数学归纳法 . 证明： 先证分解式的存在性 . 因为一次多项式都是不可约的，所以 n＝1时结论 成立 . 设 并设结论对于次数低于n的多项式 已经成立. 如果 f (x)是不可约多项式，结论是显然的, 不妨设 f (x)不是不可约的，即有 其中 的次数都低于 n . 由归纳法 都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 . 把 的分解式合起来就得到 f (x)的一个分解式. 再证分解式的唯一性 . 设 f (x)可以分解成不可约多项式的乘积 如果 f (x)还有另一个分解式 其中 都是不可约多项式，于是 对s 作归纳法 . 当s = 1，f (x)是不可约多项式，由 定义必有 且 （1） 现设不可约因式的个数为s－1时唯一性已证. 由（1）， 因此， 能除尽其中的一个，不妨设 必 因为q1(x)也是不可约多项式，所以有 在(1)式两边消去q1(x)，就有 （2） （3） 由归纳法假设，有s－1＝t－1，即s＝t， 并且适当排列 次序之后有 即 （4） (2), (3), (4)合起来即为所要证的 . 唯一性得证. * 上页 下页 返回 结束