§_多项式的分解.PPTVIP

* 第一章 多项式 * * * §1.5 多项式的分解 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于 中任一个多项式 总是 的因式。 这样的因式称为平凡因式。 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， 还有没有其他的因式？ 定义1.5.1 设 是 中次数大于零的多项式， 若 除 F上不可约。 平凡因式外，在 中还有 等价定义： 可分解成 中两个次数都小于 n 的多项式 的积，即 则称 在数域F上可约。 中一个 次多项式 如果 如果在 中， 只有平凡因式， 则称 在数域 则称 在数域F上可约。 其他因式， 一、不可约多项式 1、定义 由定义可得： 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）； ② 多项式的可约性与数域有关（例 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。 性质 性质1 不可约，则 也不可约， 若 性质2 若 是不可约多项式， 则 证：设 由 或 若 则 若 则 性质3：若 不可约且 则 或 证： 若 则结论成立； 若 ，又 不可约。 由性质2， 推论： 若 不可约且 则 必整除某个 二、因式分解 问题： 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1： 中任一个 次多项式 都可以分解成 中不可约多项式的乘积。 证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当 时， 1、若 不可约成立； 2、若 可约， 由假设知 均可分解为不可约 多项式的乘积。 问题： 多项式 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？ 若 取 则 可见 分解式不唯一。 定理1.5.2： 中任一个次数大于零的多项式 分解成不可约多项式的乘积： 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式： 若不计零次多项式的差异和因式的顺序， 分解 则有① r=s； ② 适当调整 的位置后，有 ） 证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 分解成r个因式时，有 由于 ， 故存在某个 使 为方便起见不防设 就是 。 由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且 三、标准（典型）分解式 在 的分解中，可以把每个不可约因式的 故 * 第一章 多项式 *