§线性方程组的般理论.PPTVIP

§2 线性方程组的一般理论 思考题 * * 本节讨论非奇次线性方程组有解和无解的 充要条件，以及齐次线性方程组有非零解和只 有零解的充要条件. 非齐次线性方程组解的研究 齐次线性方程组解的研究 2.1 非齐次线性方程组的研究 线性方程组的矩阵形式 若线性方程组有解,则称该线性方程组相容； 否则称为不相容. 当 时，称 AX = b 为非齐次线性方程组； 当 时，称 AX = 0 为齐次线性方程组. 例 2 求解非齐次线性方程组 2.1 非齐次线性方程组的研究 例 2 求解非齐次线性方程组 解： 方程组无解. 此时 一般地，对于方程组AX=b，若R(A) , 则是不是方程组一定无解呢？ 矛盾方程 0＝2 例 3 求解非齐次线性方程组 此时，R(A) = R(A,b) = 3. 解： 一般地,对于 n 元方程组AX=b, 若R(A) = R(A,b) = n， 则是不是方程组一定有唯一解？ 2.1 非齐次线性方程组的研究 例 4 求解非齐次线性方程组 2.1 非齐次线性方程组的研究 解： 1 1 1 取哪些未知数为自由未知数? 取哪些未知数为自由未知数? ( 为任意常数). 2.1 非齐次线性方程组的研究 1 1 1 选择 作为自由未知数, 即 此时，R(A) = R(A,b) = 3 . 一般地,对于n元方程组AX=b, 若R(A) = R(A,b) =r n， 则是不是方程组一定有无穷多解？ 定理 3.1 非齐次线性方程组 AX=b 有解的 充分必要条件是R(A) = R(A,b) ． 2.1 非齐次线性方程组的研究 设R(A) = r r 行 m-r 行 r 列 n-r 列 推论 1 Am×nX = b 有唯一解 R(A) = R(A,b) = n ； Am×nX = b 有无穷多解 R(A) = R(A,b) n . Am×nX = b 无解 R(A) R(A,b) ; 推论 2 An×nX = b 无解或有无穷多解的充要条件是 An×nX = b 有唯一解的充要条件是 克拉默法则 含 n-R(A)个自由未知数 求解带参数的方程组AX=b , 是定理3.1的综合应用, 在 线性代数中占有重要地位, 因此要熟练掌握它的解法. 问 取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解; （3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解. 一般有两个求解方法： 当A为方阵时, 先根据系数行列式 ,求得使方程组有 唯一解的参数值，然后讨论； (2) 对矩阵(A,b)作初等行变换. 2.1 非齐次线性方程组的研究 例 5 设有非齐次线性方程组 方法一： 利用系数行列式 解： 方法一： 因此, (1)当 即 时，方程组有唯一解. (2) 当 时， 解： 2.1 非齐次线性方程组的研究 可见 故方程组此时有无穷多解， 且通解为 2.1 非齐次线性方程组的研究 (3) 当 时， 可见 故方程组此时无解. 方法二： 对增广矩阵作初等行变换 2.1 非齐次线性方程组的研究 可否? 可否? 因此, (1)当 时，R(A) = R(A,b) = 3, 此时方程组有唯一解. (2) 当 时， 可见R(A) = R(A,b) = 2, 此时方程组有无穷多解， 通解为, 2.1 非齐次线性方程组的研究 (3) 当 时， 可见R(A) = 1, R(A,b) = 2, 此时方程组无解. 2.2 齐次线性方程组的研究 n 元齐次线性方程组AX = 0 只有零解的充要条件 是R(A) = n；有非零解的充要条件是R(A) n. 定理 3.2 设R(A) = r r 行 m-r 行 r 列 n-r 列 推论 An×nX = 0 只有零解的充要条件是 An×nX = 0 有非零解的充要条件是 定理1.5 含 n-R(A)个自由未知数 例 6 求解齐次线 性方程组 解： 一定有非零解 取 x2，x5为