§维随机变量及其分布.PPTVIP

皖西学院 经济与管理学院 第三章 二维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 边缘分布 补充说明 二、边缘分布列 第五节 随机变量的独立性 补充说明 条件分布列 例3 设（X,Y）的联合分布列如下，求Y=1条件下关于X的条件分布列。 三、边缘密度函数 一般地 ， 例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是 求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。 解：(1) 例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是 求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。 解（2） 例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是 求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。 解（2） 条件密度函数 随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。 一、独立性的定义： 定义中的条件是独立性的充要条件，对各种 类型的随机变量都能成立。 而对于离散和连续型的随机变量来说，又可以 分别利用概率分布列和密度函数来反映随机变量的 独立性。 二、离散型随机变量的独立性 例1 设(X,Y)的联合分布律为 三、连续型随机变量的独立性 n个连续型随机变量相互独立的充要条件是： 简单判别方法： 例2 设（X,Y）的联合密度函数为 问X、Y是否独立？ 0 1 1 例3 从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率： ①两数之和小于1.2； ②两数之积小于1/4. 解：记这两个数分别为X、Y，则X、Y独立，且都 服从（0，1）上的均匀分布。从而（X,Y）的联合 密度函数为 所求的概率，即是在指定的区域内计算联合密度函数 的二重积分。 例3 从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率： ①两数之和小于1.2； ②两数之积小于1/4. 例3 从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率： ①两数之和小于1.2； ②两数之积小于1/4. 作 业 P57-58 23, 25, 26, 29 120 * 概率论与数理统计 * 概率论与数理统计 一、二维随机变量 如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的 问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。 与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量 分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连 续型的随机向量。 二、二维随机变量的分布函数 注：联合分布函数表示2个事件同时发生的概率。 三、二维联合分布函数的性质 单调性: 有界性: 右连续性: 非负性: 注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件. 关于非负性的补充说明： 例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 解：由分布函数的性质可以得到 一、二维离散随机变量 对于二维随机变量(X,Y)，如果X和Y都是离散型 随机变量，则称(X,Y) 是二维离散型随机变量。 二、二维随机变量(X,Y)的联合分布列 联合分布列的基本性质 非负性： 正则性： 例1 一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2。从 袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。 记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字. 分析：与求一维分布列一样，确定取值，计算概率. 例1* 一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2。 从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。 记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字. 1、定义：如果存在二元非负函数 p(x,y)，使得二维随机变量（X,Y）的分布函数 F(x,y)满足 则称（X,Y）为二维连续随机变量， p(x,y)称为（X,Y）的联合密度函数。 注：在F(x,y)偏导存在的点处有： 2、基本性质 非负性： 正则性： 即密度函数在指定平面区域G上的二重积分。 3、概率计算： 1 1 G1 G2 常用二维分布： 2、二维正态分布： 2、二维正态分布： 例2 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布， 求(X,Y)的联合密度函数。 解：区域G如图所示， 故(X,Y)的联合密度函数为 一、边缘分布函数 1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。 2、由联合分布还可以还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在。 3、对联合分布与边际分布关系的研究，同样从离散和连续型两种随机变量分别说明。 对二维离散型随机变量(X,Y)，联合分布列为 则(X,Y)关于X的边缘分布列为 (X,Y)关于Y的边缘分布列为 注： (X,Y)的联合分布列与边际分布列的关系， 通常可以用下面的表格来反映。 各行概率相加 各列概率相加 例2 设（X,Y）的联合分布列如下，求其边际分布列。 练习 设（X,Y）的联合分布列如下，求其边际分布列。 （1） （2） （1）