第4章-热传导问题的数值解法讲述.ppt

(2) 外部角点 如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表 1/4 个以 为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为 ，则据能量守恒定律得其热平衡式为： (3) 内部角点 内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条件下 x y qw 讨论关于边界热流密度的三种情况： （1）绝热边界 即令上式 即可。 （2） 值不为零 （3）对流边界 此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此项中的 与等号前的 合并。 对于 的情形有： 流入元体， 取正，流出元体， 取负 （a）平直边界 （b）外部角点 （c）内部角点 4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼进法 当计算区域出现曲线边界或倾斜边界时，常常采用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后用上述方法建立边界节点的离散方程。 4.3.3 代数方程的求解方法 2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。 1）直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2 迭代法目前应用较多的是： 1 ）雅可比迭代法（简单迭代）：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 2 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的必威体育精装版值。 在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值） 例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度： 设有一三元方程组： 其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程： （2）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一 次 解 每次计算均用必威体育精装版值代入。 （3）以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。 判断迭代是否收敛的准则： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 迭代能否收敛的判据 1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散； 2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。 3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）； 4.4 非稳态导热问题的数值解法 4.4.1 时间-空间区域的离散化 1、基本概念 如图4-8所示，x为空间坐标，τ为时间坐标。 1）时间步长 ：指从一个时间层到下一个时间层的间隔 。 2）节点（n, i）——表示空间网格线与时间网格线的交点，即表示了时间——空间区域中一个节点的位置，相应的记为： 。 2、非稳态项的离散 非稳态项的离散有三种不同的格式： 1）向前差分 2）向后差分 3）中心差分 1）向前差分 2）向后差分 3）中心差分 4.4.2 一维平板非稳态导热的显示格式 泰勒级数展开法 1）一维非稳态导热微分方程中的扩散项离散与稳态导热微分方程中的方法相同，则对一维非稳态导热微分方程中 的扩散项→中心差分； 非稳态项→向前差分 （1）非稳态项： 采用向前差分为： （2）稳态项： 采用中心差分则为： 则有： 可改写为： 显示差分与隐式差分格式 求解非稳态导热微分方程，是从已知的初始温度分布出发，根据边界条件依次求得以后各个时间层上的温度值。 显示差分格式 定义：就是指若已知i时层上各节点的温度值，根据该差分格式即可算出（i+1）时层上各内点的温度，而不必求解联立方程。即 是前一时刻（i）n节点及相邻两节点温度的显函数。 优点：计算工作量小；缺点：受时间及空间步长的限制。 4.4.3 非稳态导热方程的隐式格式 隐式差分格式 对一维非稳态导热微分方程 中的扩散项在(i+1)时层上采用中心差分，非稳态项将t在节点(n,i+1)处对节点(n,i)采用向前差分，得 定义：就是指已知i 时层上各节点的温度值 ，根据差分格式不能直接算出(i+1)时层上各节点的温度，而必须求