、可降阶的高阶微分方程.PPTVIP

可降阶的高阶微分方程 一、 型的微分方程 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 型的微分方程 例4. 三、 型的微分方程 例7. 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 例8. 解初值问题 例9. 内容小结 备用题 四、其他可降阶的微分方程 * 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、其他可降阶的微分方程 几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 解法： 特点： 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 解 对所给方程接连积分三次, 得 这就是所求的通解. 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初初速度为0, 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法： 特点： 原方程可化为一阶方程 设其通解为 则得一个一阶微分方程 再积分, 得原方程的通解 例3 解 分离变量 于是所求的特解为 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程, 得 解法： 特点： P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 型，特别： 型 推广 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例5 解法： 特点： 原方程可化为 设其通解为 分离变量并积分，得通解为 求得其解为 原方程通解为 特点： 解法： 型，特别： 型 推广 解 代入原方程得 原方程通解为 例6 分离变量并积分， M : 地球质量 m : 物体质量 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端积分得 因此有 注意“－”号 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 y = R 时 由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 . 则定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解: 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 99 考研 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 机动