《分法求方程的近似解》参考课件.PPTVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * 教学目标: 体会用二分法求方程近似解的算法思想. 教学重难点: 算法的设计及意义 对于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式来求解,但是,绝大部分的方程不存在求根公式. 在实际问题中,通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了.因此,讨论方程近似解的算法具有重要的意义! 设计一个算法,求方程3x+4y=13的正整数解. 设计一个算法,解方程组 的正整数解 x+y+z=6 2x-3y+z=6 解:(1)因为x≤6,所以, x可能为,1,2,3,4,5,6 (2)就x的6种情况进行讨论, x=1,问题变为求的正整数解; y+z=5 -3y+z=4 ……按照上述步骤讨论完x的情形,就得到方程组的的所有正整数解 x=4 y=1 z=1 b.x=2时,问题变为求 y+z=4 -3y+z=2 的整数解 在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0的近似解.如图所示 y x O a b x* 二分法的基本思想是:将方程的有解区间分为两个小区间,然后判断解在哪个小区间;继续把有解的区间一分为二进行判断,如此周而复始,直到求出满足精度要求的近似解. 1.确定有解区间 (f(a)f(b)0). 2.取 的中点 3.计算函数f(x)在中点处的函数值 4.判断函数值 是否为零 如果为零, 就是方程的解,问题就得到解决. f(a) 1)若 0, 则得新有解区间为 b) 如果函数值 不为零, 则分下列两种情形: 2)若 则确定新的有解区间为 5.判断新的有解区间长度是否小于精确度: (1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间的基础上重复上述步骤; (2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则取新的有解区间的中点为方程的近似解. 1.求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间 [0，1]上的实数解,精确度为0.1. 解:1.因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)0,则区间[0,1]为有解区间,精度 1-0=10.1 2.取[0,1] 的区间中点0.5; 3.计算f(0.5)= -0.125; 4.由于f(0.5)f(1)0,可得新的有解区间[0.5,1] ,精度1 – 0.5=0.50.1 练 习 6.计算f(0.75)= - 0.1563; 7.由于f(0.75)f(1)0,可得新的有解区间[0.75,1] ,精度1-0.75=0.250.1 8.取区间[0.75,1]的中点0.875; 9.计算f(0.875)=0.43555 10.由于f(0.75)f(0.875)0,可得[0.75,0.875] 精度0.875-0.75=0.1250.1; 11.取区间[0.75,0.875] 的中点0.8125 5.取[0.5,1]的区间中点0.75; 11.计算f(0.8125)=0.19653 12.因f(0.75)f(0.8125)0, 得区间[0.75,0.8125]精度0.8125-0.75=0.06250.1 13.该区间一满足精确度的要求,所以取该区间的中点0.78125,它是方程的一个近似解. 简化写法: 第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)0,所以设x1=0,x2=1. 第二步:令m= ,判断f(m)是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断f(x1)f(m)大于0还是小于0. 第三步:若f(x1)f(m)0,则令x1= m;否则,令x2= m. 第四步:判断|x1-x2|0.1是否成立?若是,则x1,x2之间的中间值为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。 算法,出现在12世纪,指的是运用阿拉伯数字进行算术运算的过程.在数学中,现代意义上的“算法”,通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的有效的,而且能够在有限步之内完成. 练习.书本78 :1 2.设计一个算法,求函数y=log2x,当x=3时的函数值(精确到0.1) (用反函数的思想转化为求f(x)=2x-3=0的近似解.用二分法算法计算) 解:算法(二分法): 因为f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)0,所以取区间[1,2] 第一步:输入a,b; 即区间端点的值 第二步:取区间 [a,b] 的中点 ,将区间一分为二;