《线性代数》电子教案、.PPTVIP

第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 注意：将矩阵 A 分块的方式不是唯一的，如矩阵 Am×n可以分块为 但是这里必然有 成立。同时 也必然有Aij与Akj的列数相同， Aik与Aij的行数相同。 在对阶数较高的矩阵进行运算时常常把矩阵分成适当的小块矩阵，然后把每个小块当作“数”一样处理，使运算简便（有限元方法中就常常用到）。 矩阵分块的意义 第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 三. 基本运算（与普通矩阵的运算规则相类似） 分块加法 A = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … As1 As2 … Asr , B = B11 B12 … B1r B21 B22 … B2r … … … … Bs1 Bs2 … Bsr , 其中Aij与Bij是同型的“小”矩阵（即行、列数分别相同）. 则A+B可看成是分块矩阵的和。 设矩阵A与B是同型的, 采用相同的分块 法分别将A与B分块如下 A11+B11 A12+B12 … A1r +B1r A21+B21 A22+B22 … A2r +B2r … … … … As1+Bs1 As2+Bs2 … Asr +Bsr . A + B = 设矩阵A = A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r … … … … As1 As2 … Asr , ?为常数. ?A11 ?A12 … ?A1r ?A21 ?A22 … ?A2r … … … … ?As1 ?As2 … ?Asr . 则?A = 2. 分块数乘 第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 3. 分块乘法 设A为m?l矩阵, B为l ?n矩阵, 将它们分块如下 A = A11 A12 … A1t A21 A22 … A2t … … … … As1 As2 … Ast , B = B11 B12 … B1r B21 B22 … B2r … … … … Bt1 Bt2 … Btr , 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.) C11 C12 … C1r C21 C22 … C2r … … … … Cs1 Cs2 … Csr , 其中Cij = ? AikBkj , 则AB = k=1 t 第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 注意与矩阵乘法相类比 在将小块矩阵当作“数”来做分块乘法时，必须注意相乘因子的先后顺序 1 0 1 0 ?1 2 0 1 1 0 4 1 ?1 ?1 2 0 B = , 求AB. 1 0 0 0 0 1 0 0 ?1 2 1 0 1 1 0 1 例14. 设 A = , 解: A = , E O A1 E B = , B11 E B21 B22 其中E = , 1 0 0 1 ?1 2 1 1 A1= , 1 0 ?1 2 B11= , 1 0 ?1 ?1 B21= , 4 1 2 0 B22= . 于是AB = E O A1 E B11 E B21 B22 , B11 E A1B11+B21 A1+B22 = 第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 而A1B11 = ?1 2 1 1 1 0 ?1 2 ?3 4 0 2 = , A1B11 +B21 = ?3 4 0 2 1 0 ?1 ?1 + A1+B22 = ?1 2 1 1 4 1 2 0 + ?2 4 ?1 1 = , 3 3 3 1 = . B11 E A1B11+B21 A1+B22 从而AB = = . 1 0 1 0 ?1 2 0 1 ?2 4 3 3 ?1 1 3 1 第二章 矩阵 §2.4 分块矩阵 下面