【名师号】高中数学圆的般方程课件新人教A版必修.PPTVIP

共 44 页 4.1.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小. 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程. 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题. 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________; (2)当________________时,方程不表示任何图形; (3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程. 2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件: (1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________; (2)没有xy项,即__________; (3)__________________时,它才表示圆. 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2① 明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0② (其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2). 仅当D2+E2-4F0时,方程②才表示一个圆. 2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单. 题型一 圆的方程的判断 例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0. 分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断. 解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. (2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2= (3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-210,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆. (4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2. ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2. 规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通 过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的 一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆. 变式训练1:将圆的方程化为标准形式,并写出圆心坐标及半径. (1)x2+y2+4x-6y-12=0; (2)4x2+4y2-8x+4y-15=0. 解析:(1)原方程配方得(x+2)2+(y-3)2=25, ∴圆心为(-2,3),半径为5. 题型二 求圆的一般方程 例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上. 分析:先求过A?B?C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可. 解:设A?B?C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A?B?C三点的坐标分别代入圆的方程得 ∴过A?B?C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A?B?C?D四点在同一圆上. 规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A?B?C三点坐标代入整理得 ∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0. 题型三 求动点的轨迹方程 例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得: |AC|=|AB|, 由两点间距离公式得, 平方整理得, (x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点A(4,2)为圆心,以 为半径的圆,但A?B?C为三角形的顶点,∴A?B?C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5), 当BC为直径时,C(5,-1), ∴端点C的轨迹方程是 (x-4)2+(y-2)2=1