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第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 用根轨迹分析系统的性能 4-1 根轨迹法的基本概念 一、根轨迹的概念 根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化 时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 根指的是闭环特征根(闭环极点)。 根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。 例 已知系统开环传递函数，讨论0K∞变化时闭环极点的分布情况 由 可得闭环极点的变化情况： K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2 s2=-2 K=2 s1=-2+2j s2=-2-2j 1 K ∞ s1 s2 实部均为-2 K= ∞ s1=-2+j ∞ s2=-2-j ∞ K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2 s2=-2 1 K ∞ s1 s2 实部均为-2 由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点. 2）当0K 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起, 此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 K∞,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。 ★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。 (3)动态性能： 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。 由此可知： 1.利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。 2.根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。 二、闭环零极点与开环零极点的关系 一般情况下，前向通路传递函数 前向通路根轨迹增益 Zi为前向通路的零点;Pi为前向通路的极点 反馈通路传递函数 三、 根轨迹方程 根轨迹方程即为 或 假设开环传递函数中有m 个零点和n个极点,根轨迹方程可表示为： 4-2 常规根轨迹的绘制法则 一、绘制根轨迹的基本法则 1.根轨迹的起点与终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。 2.根轨迹的分支数和对称性 分支数=特征方程阶数； 根轨迹对称于实轴。 3.根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。 因为对实轴根轨迹上的任一点s1来说,其左边的开环零、极点到s1点的相角总是0，对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总是 π， 共轭零极点到s1点的相角之和也是零,只有s1右边 的开环零、极点到s1的相角为π ,而相角方程 ： 因而s1的右侧只有奇数个开环零、极点才会满足 相角方程。 4.根轨迹的渐近线 开环极点数n,开环零点数m,有n-m条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远处。 nm时才有渐近线,渐近线的绘制方法:确定渐近线与实轴的交点坐标бa 和实轴正方向夹角 ，渐近线即可绘出。 （zi为已知的开环零点，pi为已知的开环极点） 5.根轨迹的分离点 分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d表示。d为特征方程重根的值。 分离点计算公式： 分离点处根轨迹分支间的夹角: 法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k* 从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。 6.根轨迹的起始角与终止角(针对有