一概率论基础知识.PPTVIP

数理统计 （2）连续型随机变量的边缘概率密度 6. 条件分布 （2）连续型随机变量的条件分布 条件概率密度的性质 例 4 7. 相互独立的随机变量 均有 定义1 若二维随机变量 对任意的实数 成立，则称随机变量 是相互独立的。 下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法： 相互独立 命题： Ⅰ.若 是离散型随机变量，则 的充分必要条件是 即 相互独立 Ⅱ.若 是连续型随机变量，则 的充分必要条件是 相互独立 几乎处处成立 例1 已知随机变量 的分布律为下图，问 是否相互独立？ 解 由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 X ,Y 的边缘分布律 . 解 ( X, Y ) 的可能取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) 若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为 则: 同理 关于X 和Y 的边缘概率密度。 分别是 例2 上服从均匀分布, 密度 和 x y 0 1 y=x 例3 已知 例4 已知 的边缘概率密度 由于 例5 设二维随机变量 试求 的边缘概率密度. 解 令 ，则有 即 同理 2.条件分布函数 1.条件分布律 3.条件概率密度 （1）二维离散型随机变量的条件分布 设 是二维离散型随机变量，其分布律为 关于 和 的边缘分布律分别为 设 　　，我们考虑在事件 已发生的条件下事件 　　发生的概率， 由条件概率公式可得 定义1 设 是二维离散型随机变量，对于固定 的 ，若 　　，则称 为在 的条件下 的条件分布律。 易知,条件概率具有分布律的性质 同样，设 是二维离散型随机变量，对于固定 的i，若 ，则称 为在 的条件下 的条件分布律。 例1 袋里有2个白球，3个黑球，从袋里任取2个球， 用X=1表示第一次取到的是白球，X=0表示第一次取到的是黑球；用Y=1表示第二次取到的是白球，Y=0表示第二次取到的是黑球，如果是放回抽样，试求: (1)在X=0 的条件下的Y条件分布律; (2)在Y=1的条件下 X的条件分布律。 解　因为是放回抽样，所以 所以(X,Y)的分布律和边缘分布律为 又由 1 0 Y 知在条件 的条件下 分布律为 同理，在 的条件下 的条件分布律为 1 0 X 同样，在条件 下 的条件分布函数为 在条件 下的 条件分布函数可由条件分 布律得出，即 设 是二维连续型随机变量，因为对任意的x, y 有 所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。 下面我们用极限的方法导出条件分布函数。 定义2　 给定 ，设对任意固定的正数 ， ，如果对任意实数 ， 极限 存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P{ X? x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y). 设 的分布函数为 ，概率密度为 ，在点 处 和 连续且 ，则有 若记 为在条件 下 的条件概率密度，则由上式可得 类似地有 由此可得 解　 例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为 其中G是由 围成的区域，求条件概率密度 由 例3 设 的联合分布密度为 解 关于 的边缘密度为 解 由 1. 两个随机变量的独立性 2. n个随机变量的独立性 * * 周 圣 武 中国矿业大学 理学院 有些随机现象需要用几个随机变量来描述. ◆在打靶时, 弹着点的位置是由X,Y来确定的. ◆飞机的重心在空中的位置是由X,Y,Z来确定的. 5. 多维随机变量 一般地, 设随机试验E的样本空间是 设 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个 维向 量 叫做 维随机向量 或 维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . 定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 称为二