一线性空间与线性变换.PPTVIP

数域K上方阵的特征根还在数域K中，则存在K上的可逆方阵P使得方阵相似于上三角阵 * * 1.6 线性变换的像与核 证明： ?x∈V，则有x=x1ε1+x2ε2+ …+xnεn φx=φ(x1ε1+x2ε2+ …+xnεn)= x1φε1+x2φε2+ …+xnφεn 即：Imφ ? span(φε1, φε2, …, φ εn) φ的秩=Imφ的秩，矩阵A是由基像组的坐标组成，而 基像组的秩与其坐标组成的矩阵秩相同 所以：φ的秩=rankA 定理1.6.3：设φ是n维线性空间V上的线性变换，则 φ的秩+φ的零度=n 证明： 设φ的零度为r，取Ker φ的一组基ε1,ε2, …,εr,并将其 扩展成V的一组基ε1,ε2, …,εr, εr+1, …,εn, 1.6 线性变换的像与核 Imφ=span(φε1, φε2, …, φεn)= span(φεr+1, …, φεn) ∴ φ的秩+φ的零度=n 例：若线性定常连续系统(A,b,c)不完全能控，其维数为n，则状态空间 X=Xc⊕Xnc，Mc=[b|Ab|…|An-1b] 则 Xc=ImMc称为能控子空间； Xnc=KerMc称为能控子空间。 1.7 不变子空间 定义1.7.1：设φ是数域K上线性空间V上的线性变换， W是V的子空间，如果W中的向量在 φ的像仍在W中， 称W是φ的不变子空间。 例：线性空间V上的线性变换φ的核与像都是V的不变子空间。 定理1.7.1：设φ是数域K上线性空间V上的线性变换，W是V的不变子空间，如果W的基为ε1,ε2, …,εr，将其扩展成V的一组基ε1,ε2, …,εr, εr+1, …,εn，则φ在这组基下的矩阵有如下形式。 r r 1.7 不变子空间 证明：ε1,ε2, …,εr是W的基，所以有 φ εi=ai1 ε1+ai2 ε2+ …+air εr，i=1,2，…，r 命题得证 定理1.7.2：线性空间V= V1 ⊕ V2，V1，V2都是φ的不变子空间，如果V1的基为ε1,ε2, …,εr， V2的基是εr+1, εr+2, …,εn则φ在这组基下的矩阵有如下形式。 r r 1.8特征值与特征向量 定义1.8.1：设φ为线性空间V上的线性变换，如果存在非零向量α∈V，λ ∈K,使得φα=λα，则称数λ为φ的特征值，向量α为线性变换φ的对应于特征值λ的特征向量。 定理1.8.1： 设V上线性变换φ在基 下的矩阵为A，则A的特征值λ就是变换φ的特征值；若α是A的对应于特征值λ的特征向量，则 就是φ的特征向量。（变换-矩阵的特征值特征向量） 一、定义与基本性质 1.8特征值与特征向量 定义1.8.2：A是数域P上的nXn矩阵，定义det(λI-A)为A的特征多项式。 矩阵A的特征根就是特征多项式det(λI-A)的根； 相应的特征向量为线性方程组(λI-A)α=0的非零解。 例：上三角矩阵的特征根求解 问题：线性变换在不同基下的矩阵不同，不同矩阵的特征值与特征向量也不同，哪么线性变换的特征值？ 求特征值和特征向量的方法 1.8特征值与特征向量 定理1.8.2：相似矩阵具有相同的特征多项式。 定理1.8.3：任何一个复方阵必相似于一个上三角矩阵。 证明：对方阵的阶数使用数学归纳法 n=1，显然成立；假设n=k-1时结论成立； 证明n=k时结论成立 A看成线性空间V上的线性变换φ的矩阵 设λ是φ的一个特征值，则有非零向量α1使得 φα1=λα1，用α1扩展出V的一组基α1,α2, …,αn 则线性变换φ在这组基下的矩阵具有如下形式 1.8特征值与特征向量 定理1.8.4：矩阵A是n阶方阵，f(x)是一个多项式，若λ1,λ2,…,λn是A的特征值，则f(λ1), f(λ2),…, f(λn)是f(A)的特征值。 定理1.8.5：矩阵A是n阶方阵，f(x)是一个多项式，若f(A)=0，则f(λ1)= f(λ2)=…= f(λn)=0。 定理1.8.6：矩阵A是n阶可逆方阵，若λ1,λ2,…,λn是A的特征值，则λ1-1, λ2-1,…, λn-1是A-1的特征值。 1.8特征值与特征向量 二、对角化 定理1.8.7‘： 设φ是n维线性空间V上的线性变换，φ的矩阵可以在某一组基下表示为对角阵的充要条件是φ有n个线性无关的特征向量。 定理1.8.7： 设A是n阶方阵，则A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特