七向量及其线性运算.PPTVIP

空间解析几何与向量代数 第七章 §7-1　向量及其线性运算 数量： 只有大小， 单用实数就可以表示的量。 向量： 既有大小， 又有方向的量。 考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。 o x y Q R Q：始点 R：终点 向量记为QR 若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x, y). o x y Q R P(x, y) 如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x, y)； 反之，平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量. 即 平面向量与平面上的点是一一对应的. 也即 二元有序数组(x, y)表 我们也称 (x, y) 为二维向量. 示了平面上一向量， 平面向量 ?? 平面上点 ?? 二元有序数组 定义1 由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组 ? = (a1, a2,…, an) 称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 ? 的分量 (坐标)， aj 称为向量? 的第 j 个分量 (坐标). 一般地，我们用?, ?, ? 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量. 其它表示法 u, v 平行四边形法则 一般可定义如下基本运算. 问题： 是否和数一样，可以对向量进行运算？ 回忆合力的运算. F1 F2 F F= F1+ F2 定义2 设? = (a1, a2,…, an), ? = (b1, b2,…, bn), 为 n 维向量，可定义和运算： 由此，可定义 n 维向量中两个典型向量： 零向量0: 满足? +0=?. 由加法定义知： 0=(0, 0,…, 0); 负向量–? ：满足? +(–? )= 0. 由加法定义知 –? =(– a1, –a2, …, – an). ? o x y ? a1 a2 a2 b2 b1 b1 ? A 几何上 平行四边形法则 (a1+b1, a2+b2) o x y ? ? ? +? 上图可简化为： 三角形法则 下面我们试图度量一个向量的压缩和伸长，几何上有： o x y a1 a?1 a2 ? a?2 P(a1, a2) P?(a?1, a?2) 由相似关系， 有 a?1: a1= a?2: a2=? , 即a?1=? a1, a?2=? a2. 由此，引入定义 设? =(a1, a2,…, an)为 n 维向量， 定义3 ?为实数. 则 向量(? a1, ? a2,…,? an ), 称为向量 ? 与数 ? 的乘积. 记为 ? ? = ? ?= (? a1, ? a2,…, ? an ). 运算规律: 1. 交换律 ? +? =? +? ; ? +? ? +? ? ? ? ? 2. 结合律 (? +? )+? =? +( ? + ? ); ? ? ? ?+? +? ? + ? ? +? 3. ? +0=? ; 4. ? +(–? )=0; 5. 1·? =? ; 6. 数乘结合律 ? ??? ?=?? ???= ??? ? ?； 7. 数乘对向量加法的分配律 ? ?? +? ?=?? +? ? ； 8. 数乘对数加法的分配律 (? +? ?? =?? +? ? . 定义4. 向量的减法： ? ?? ＝? ???? ?. ? ? ? ?? ? ?? ?????? ?? 例1. 已知一平面向量, 始点为 Q(x1, y1), 终点为 R(x2, y2 ), 求其对应之坐标 (分量). 解： o x y R(x2, y2) P(x, y) Q(x1, y1) 由向量减法定义知. (x2, y2)–(x1, y1) (x2– x1, y2–y1) = = 一般有：设n维向量, 始点为 Q(a1, … , an), 终点为R(b1, … , bn), 则其坐标为 (b1–a1,… , bn–an). OR– OQ = QR = OP = (x, y) 故得QR=(x, y)=(x2–x1, y2–y2). 设四维向量? =(1, 2, –1, 1), ? =(2, –3, 1, 1), ? = (4, 1, –1, 3). 则经计算可知 ? =2? ?? 此时，称?可表为 ? 和 ? 的线性组合. 此种特征我们用下面定义描述. 定义1. 设?1, ?2,…, ?m, ? 为 n 维向量. 如果存在一组数 ?1 , ?2 , …, ?m , 使得 ?