七数理统计的基本概念.PPTVIP

 制作者 范彩云 目录 数理统计的基本概念 数理统计与概率论都是研究大量随机现象规律性的学科，但它们所研究的侧重点有所不同，概率论是对客观随机现象的规律性给出数学模型，即在概率论中通常已知随机变量的概率分布，然后对其性质及相互关系进行研究，但在实际问题中的一个随机变量所服从的分布往往是不知道的，或者是知其模型不知其分布中所含的参数，怎样才能知道一个随机变量的分布或参数呢？ 这就是数理统计所要解决的问题，因此数理统计就是在实际中进行观察试验，收集统计资料，分析研究其规律性，选择数学模型，对所考察的问题作出估计与判断，但客观上往往只允许我们对随机现象进行次数不多的观察和试验，所收集的统计资料只能反映事物的局部特征，数理统计的任务就在于从统计资料所反映的局部特征以概率论作为理论基础来推断事物的整体特征。 总体与个体 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或母体，把组成总体的每一个研究对象（元素或单元）称为个体。有限总体，无限总体。 样本 在一个总体中，抽取n个个体ξ1, ξ2, …,ξn，这n个个体总称为总体ξ的样本或子样，n称为样本容量。 样本特性： （1）代表性，样本中的每一个分量ξi (i=1, 2, …, n) 与总体ξ相同的分布。 （2）独立性，n个样本ξ1, ξ2, …ξn,是相互独立的。 具有上述两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本。 样本分布 对于总体ξ的样本，ξ1, ξ2,…, ξn，若ξ的分布函数为F(x)，那么样本的联合分布函数为 ；若ξ的分布密度为 ，那么样本的联合分布密度为 例5 设总体ξ~N(μ,σ2), 求样本(ξ1, ξ2,…, ξn)的联合分布密度。 解 总体ξ~N(μ,σ2), 即ξ有分布密度为 于是(ξ1, ξ2,…, ξn)的联合分布密度为 在数理统计中，总体的分布往往是未知的，现在就是要通过样本找到一个分布来近似代替总体的分布。下面介绍常用的几个方法。 频率分布 例6 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉钢的含硅量的可以看作是一个随机变量，现记录了120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分布与频率分布。 直方图 （1）决定组距与组数。 （2）数出频数。 （3）绘出直方图。 分布密度曲线 当n相当大时，第k组频率fk可近似地表示ξ取值落入 内的 概率，即 条形图 数据只能取有限个值时，一般可采用条形图。 样本分布函数 设x1,x2,…,xn是总体ξ的一个样本观察值，将它们按大小排列为 ，令 称Fn(x)为样本分布函数(或经验分布函数)。 可以证明当n→∞时，Fn(x)按概率收敛于Fξ(x)，即对于任意给定的正数ε，有 格涅坚科还进一步证明了，当n →∞时，样本分布函数与总体分布函数之间存在着更加密切的近似关系的深刻结论。 统 计 量 定义1 设ξ1, ξ2,…, ξn是总体ξ的一个样本，若g (ξ1, ξ2,…, ξn)是连续函数，且其中不包含任何未知参数，称样本函数g (ξ1, ξ2,…, ξn)为统计量。 统计量g (ξ1, ξ2,…, ξn)是一个随机变量，若x1,x2,…,xn是样本ξ1, ξ2,…, ξn的一个样本值或观察值，则g ( x1,x2,…,xn)是一个常量或观察值。 定义2 设ξ1, ξ2,…, ξn是从总体ξ中抽取的一个样本。 （1）统计量 称为样本均值。(此统计量可给总体带来取值集中点的信息。) （2）统计量 称为样本方差。(此统计量可给总体带来取值离散程度的信息)。 统计量 称为样本均方差或样本标准差。 （3）统计量 分别称为样本k阶(原点)矩与样本k阶中心距。 当k=1时，M1就是样本均值 。 当k=2时， ，当n很大时，它与样本方差S2相近，故常把 记为 ，则 性质 定理1 设ξ1, ξ2,…, ξn是取自总体ξ