七解线性方程组的迭代法.PPTVIP

第七章 解线性方程组的迭代法 §7.1 简单迭代法及其收敛性 §7.2 塞德尔（Seidel）迭代 法及收敛性 §7.3 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法及其收敛条件 ※ 求解线性方程组的迭代法与消去法不同，不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而是逐次逼近它，直到满足精度要求为止。因此，凡是迭代法都有其收敛性与误差估计的问题。迭代法的迭代格式很多，这里我们只介绍最基本的且是常用的简单迭代法和塞德尔迭代法。 §7.1 简单迭代法及其收敛性 一、引例： 首先用一个具体例子来说明简单迭代法的基本思想。 [例]解方程组 用任意一组 近似值代入（7.2）式右端就可以得出一组新的近似值 于是，对于给定的初值 ，是用迭代格式（7.3）可以产生一个近似解的序列 下面我们取初值 ，由格式（7.3）迭代计算的结果列于表7－1中。 ——7.3 表7－1 K 0 0 0 0 1 0.3000 1.5000 2.0000 2 0.8000 1.7600 2.6600 3 0.9180 1.9260 2.8640 4 0.9716 1.9700 2.9540 5 0.9894 1.9897 2.9823 6 0.9963 1.9961 2.9938 7 0.9986 1.9986 2.9977 8 0.9995 1.9995 2.9992 9 0.9998 1.9998 2.9998 当迭代次数增加时，迭代结果会越来越逼近方程组（7.1）的解， 从这个简单的例子可以看出，用迭代法解线性方程组，基本思想是将联立线性方程组的求解归结为重复计算一组彼此独立的线性表达式，这就使问题得到了简化。 但迭代法是否能达到化繁为简的目的，还要看它是否收敛于方程组的精确解。 我们再观察一下例（7.1）。若分别从 中分离出 相应的建立迭代格式： 若仍取初值 代入（7.4），逐次得出 ——7.4 继续算下去，其结果的绝对值越来越大，不可能逼近于任何常数，当然更不可能逼近于方程组（7.1）的解。我们称这样的迭代格式是发散的。 二、简单迭代格式： 下面我们对一般情形的方程组 建立简单迭代格式，并讨论其收敛条件。 ——7.5 设按一定方式从方程组（7.5）中分离出未知数 将（7.5）改写成下列等价形式 ——7.6 或简写为 ——7.7 由此建立迭代格式 ——7.8 任意选一组初值 代入（7.8）进行迭代计算，就可得出一个近似解序列 （7.8）收敛。这时其极限值 则称迭代格式 显然就是 （7.6）的解，从而也是方程组（7.5）的解。 按格式（7.6）进行迭代以求式（7.5）解的方法称为简单迭代法。 三、收敛条件： 下面讨论其收敛条件：迭代序列 在什么条件下收敛于方程组（7.5）的精确解。 记 根据（7.8） 于是 则有 上式对一切 成立，所以有 于是 于是有 ★定理： 则迭代格式（7.8）对任意给定的初值均收敛。 §7.2 塞德尔（Seidel）迭代法及收敛性 在实际计算中，通常采用一种稍加改进的迭代方案——塞德尔迭代法。 仍考察例（7.1）。设将近似值 这样求出的新值 准确些，将他替换老值作进一步计算，将 代入（7.2）的右端得到 一、引例： 出于同样的考虑， 这种充分利用新值建立起来的迭代公式 ——7.9 称作塞德尔（Seidel）格式。仍取初值 格式（7.9）的迭代结果如下： 表7－2 K 0 0 0 0 1 0.3000 1.5600 2.6840 2 0.8804 1.9445 2.9539 3 0.9843 1.9923 2.9938 4 0.9978 1.9989 2.9991 5 0.9997 1.9999 2.9999 由上述结果可明显看出，塞德尔的迭代格式（7.9）比简单迭代格式（7.4）收敛速度快。 对一般形式的方程组（7.5）其塞德尔格式是 ——7.10 相当于简单迭代法的定理7.1，这里有 二、塞德尔迭代格式： 三、收敛条件： ★定理： （7.10）对任意给定的初值均收敛。 一般地说，塞德尔的迭代格式（7.10）的收敛速度比简单迭代法的格式（7.8）快。但两种迭代法的收敛范围并不完全重合，而只是部分相交。有时候简单迭代法可能比塞德尔迭代法收敛还快些，甚至可以举出简单迭代法收敛而塞德尔迭代法发散的例子。 所以在编制程序时，塞德尔格式（7.10）常常用下面的