三矩阵分解.PPTVIP

§3.6 矩阵的奇异值分解 定理3.13 证明： 从而 因为 矩阵的奇异值分解步骤： 例3.11 计算 所以 例3.12 于是 因为 是 标准正交基，所以 是空的， 例3.13 单位化有 将 扩充为 ，使之成为 上的一组基. 定义3.13 * 西安理工大学 矩阵论 * 西安理工大学 概率论与数理统计 预备： （1）设 ,则 是Hermite矩阵， 且其特征值是非负实数； （2） （3） 设 则 定义3.12 设 ， 的特征值为 则称 为矩阵 的奇异值. 设 ， ， 则存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 ， 使得 其中 而 为 的全部非零奇异值. 称上式为矩阵 的奇异值分解. 因为 设 的特征值为 而 是 对应于 的正交单位特征向量， 则 其中 所以 的r个m维列向量 是正交单位向量. 当 时, 将它扩充为 上的一组基： 令 则取 ，是酉矩阵. 证毕 所以 有 （1） 求 的特征值 和对应的两两正交的单位特征向量 取 是酉矩阵. （2） 求奇异值，写出 ，计算 若 ，将 扩充为 使其成为 上的标准正交基. 取 是酉矩阵. （3） 求矩阵 的奇异值分解. 解： 其特征值为 对应的正交单位特征向量依次为： 所以 又 所以 是空的. 取 将 扩充为 ， 使之成为 上的一组基. 解方程 ，得基础解系，取 则有 求矩阵 的奇异值分解. 解： 其特征值为 对应的正交单位特征向量依此为： 取 所以有 求矩阵 的奇异值分解. 解： 其特征值为 对应的特征向量依次为 解方程 ，得基础解系，取 ， 这样 所以，矩阵 的奇异值分解为： 与 有相同的奇异值. 如果存在m阶正交矩阵U和n 阶正交矩阵V ， 设 使 则称 A 与 B 正交相抵. 定理3.14 正交相抵矩阵有相同的奇异值. 证明： 设 因为 所以 与 有相同的特征值, 从而