三理论分布与抽样分布.PPTVIP

但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估计σ。于是，以 估计 。记 为 ，称作样本标准误或均数标准误。样本标准误 是平均数抽样误差的估计值。若样本中各观测值为 ， ，…， ，则 (3-20) 注意，样本标准差与样本标准误是既有联系又有区别的两个统计量，(3-20) 式已表明了二者的联系。二者的区别在于： 样 本 标 准 差 S 是 反 映 样 本中各观测值 ， ，…， 变 异 程 度大小的一个指标，它的大小说明了 对 该 样本代表性的强弱。 样本标准误是样本平均数 的标准差，它是抽样误差的估计值， 其大小说明了样本间变异程度的大小及 精确性的高低。 对于大样本资料，常将样本标准差S与样本平均数 配合使用，记为 ±S，用以说明所考察性状或指标的优良性与稳定性。 对于小样本资料，常将样本标准误 与样本平均数 配合使用，记为 ± ， 用 以表示 所考察性状或指标的优良性与 抽样误差的大小。 4.2 两样本均数差数的抽样分布 设x1 ～ ，x2 ～ ，且x1与 x2相互独立，由这两个总体中抽样（无论样本容量n1、n2多大），则样本平均数之差（ ）服从正态分布，即 且总体参数有如下关系： （3-21） ～ 若所有样本均来自同一个正态总体x ～ ，则其平均数差数的抽样分布（不论样本容量n1、n2大小）服从正态分布，且 （3-22） 若所有样本均来自非正态的同一总体，则其平均数差数的抽样分布按中心极限定理在样本容量n1、n2相当大时（大于30）才逐渐接近于正态分布。 若所有样本均来自两个非正态总体，当 与 相差不太大，且n1和n2趋于无穷大时，其平均数差数的抽样分布逐渐趋于正态分布。 实际研究中 与 是未知的，常用S12与S22分别来代替，于是 常用 来估计，记为 称为均数差数标准误 （3-23） 其中，S12、S22分别是样本含量为n1、n2的两个样本方差。 如果两个总体的方差相等，即 那么， S12、S22都是 的估计值，这时应该用他们的加权平均值S02来估计 统计量： ～t（ ） 4.3 学生氏t 分布 （t－distribution） 由样本平均数抽样分布的性质知道： 若x～N(μ, σ2)， 则 ～N(μ, σ2/n)。 将随机变量 标准化得： ， 则u～N(0,1)。 但当总体标准差σ未知时， 以样本标准差S代替σ所得到的统计量 记为t。 （3-26） ～t（df） 在计算 时，由于采用S来代替σ，使得t 变量不再服从标准正态分布，而是服从t分布。它的概率分布密度函数如下： (3-27) 式中， df=n-1为自由度，t的取值范围是（-∞，+∞） t分布的平均数和标准差为： μt＝0 (3-28) （df2） （df1） t分布密度曲线如图3-11 所示 图3-11 不同自由度的t分布 （1）t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 （2）t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t＝0时，分布密度函数取得最大值。 （3）与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n 30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n 100时，t分布基本与标准正态分布相同；n→∞时，t 分布与标准正态分布完全一致。 t分布的特点是： t分布的概率分布函数为： (3-29) 因而t在区间（t1，+∞）取值的概率—右尾概率为1-F t (df)。由于t分布左右对称，t在区间（-∞，-t1）取值的概率也为1-F t (df)。 于是 t 分布 曲线 下由