三线性代数方程组的解法.PPTVIP

第三章 线性代数方程组的解法 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 解线性代数方程组的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题. 设线性方程组 简记 AX=b 其中 例：用高斯－约当消去法求解方程组 * /* Method for Solving Linear Algebraic Systems*/ §1 引言 求解 Cramer法则: 所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！ 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，为解决这一困难给出了高斯消元法. §2 Gauss消元法/*Gaussian Elimination Method*/ 基本Gauss消元法 思想 通过初等变换逐步消去未知元，将 原方程组化为同解的三角方程组。 三角（系数矩阵）方程组易于求解 方程组 的增广矩阵记为： 其中 令 Step 1：如果 初等变换 1 记 上述两个计算公式可以写成统一形式： 类似地，对 中的 部分重复以上做法 其中 Step k：第k步消元过程的计算公式 计算 经过n-1次消元，原方程组化为等价的上三角方程组 回代过程的计算公式： 等价方程组 得到的解向量 存放在增广矩 阵的最后一列 for for for Gauss法的消元过程 回代过程 例1：用基本Gauss消元法求解下列方程组 解： 增广矩阵 小主元 可能导致计算失败 例2：在8位制计算机上解方程组 要求用Gaussian Elimination计算。 8个 解： §3 主元素Gauss消元法/* Pivoting Strategies */ 思想 每次消元之前，在剩余元素中选择绝对值最大的 非零元素作为主元， 然后经过换行换到主元位置 ?列主元消去法/* Column Pivoting Strategies */ Step k：第k步首先选择主元 寻求 满足 然后交换矩阵 的第 行和 行，再进行消元过程 算法: Gauss列主元消去算法 求方程组Ax=b 的解. 输入:增广矩阵An?(n+1)=（A|b）. 输出: 近似解 xk=ak,n+1(k=1,2,…,n) 或失败信息. 消元过程 for k = 1,2,…,n-1 do Step 1 - Step 4 Step 1 寻找行号 ik , 使得 Step 2 如果 ，则交换第k行和ik行； 否则转Step 7 算法: Gauss列主元消去算法（续） Step 3 for i=k+1,…,n 计算 Step 4 for j=k+1,…,n+1 计算 回代过程 Step 5 Step 6 for i=n-1,…,1 计算 Step 7 Output (系数矩阵奇异); /*不成功 */ STOP. 例3：用Gauss列主元消去法求解下列方程组 解： 首先写出增广矩阵 Step 1