两个随机变量函数的分布(概率论与数理统计).PPTVIP

X Y X Y 解: (1)串联情况 X Y (2)并联情况 X Y K 若系统L1与L2采用如图所示的 连接方式，即L2备用. 这时，若系统 L1损坏，系统L2马上开始工作，此时整 个系统的寿命为L1与L2的寿命之和. 即系统的寿命为 由和的分布公式知，当z≤0时， 当 z0时，有 从而 Z=X+Y的概率密度为 Г–函数 返回 * * 第四节 两个随机变量的函数的分布 1、二维离散型随机变量的函数分布 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件 问题 方法 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 当( X ,Y )为离散型r.v.时, Z 也是离散型 当( X ,Y )为连续r.v.时， 其中 例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 求 的概率分布 离散型二维 r.v.的函数 1 2 0 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 P X - Y -1 0 1 2 3 P X Y -2 -1 0 1 P Y /X -1 -1/2 0 1 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 具有可加性的两个离散分布 设 X ~ P (?1), Y ~ P (?2), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 则 X + Y ~ P(?1+ ?2) X ~ P(?1), Y ~ P(?2), 则 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ?, Poisson分布可加性的证明 即 这正是参数为 的泊松分布. 设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 为求Z的概率密度，可先求出 Z 的分布函数 2、二维连续型随机变量的函数分布 又Z=g(X,Y) (g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分 情况下，Z是一连续型随机变量。 求出Z的概率密度 求解过程中，关键在于将事件{ Z≤z }等价地转化为用 其中 ( X,Y )表示的事件 即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了 那么可通过 例1：设 且X与Y 相互 独立，求 的概率密度。 由于X与Y相互独立，于是( X,Y )的概率密度为 解 ： X和Y的概率密度分别为 先求Z的分布函数FZ(z) 当z0时 FZ(z)=0 当z≥0时 所以 于是可得 的概率密度 如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为?的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布 则 服从参数为?的瑞利分布。 设(X,Y)的联合概率密度为f (x, y)，现求Z=X+Y的概率密度。令 ，则Z的分布函数为 (1)和的分布 固定z和y对积分 作换元法，令x+y=u得 于是： 由概率密度定义，即得Z的概率密度为 由X与Y的对称性，又可得 当X与Y相互独立时，有 其中 分别是X和Y的密度函数。 上式称为 的卷积. 例2：设X，Y是相互独立且分别服从参数?1,? 和? 2, ?的?分布，即X，Y的概率密度分别为 Г--函数 证明 ： X+Y服从参数为 的 分布 证 ： 由定义，Z=X+Y的概率密度为 当z≤0时 fZ(z)=0 当z0时, 综上所述，Z=X+Y的概率密度为 这正是参数