九力学量本征值问题的代数解法.PPTVIP

由此定义角动量升降算符 利用对易式 容易证明 这正是角动量的基本对易式 。 因为 所以 同理可证其它几个分量对易式。 同样可证明关系式 其中 其本征值为 这样， 的本征值可表为 ，且 即角动量量子数 j 只能取非负整数或半整数。 的共同本征态 由前述可知， 是 但 的共同本征态，且 故 也是 考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将 该写为 ，并定义 现在的问题是，对于给定的 m可以取那些值？ 下面予以分析： 即m可以取 这 个值。 而 的逆可表示为 式 因而 可改写为 相应地，利用 可改写为 式 其中 另外，请同学们课下证明一个非常重要的关 系式 提示： 首先证明 是 的属于本征值 的本征函数； 2. 利用 本征值的非简并性，即 得出 的值。 请参阅陈鄂生《量子力学习题与解答》 p55 作业：p260 2, 3 §9.3 两个角动量的耦合与CG系数 前面我们讨论过两个具体角动量的耦合 自旋与轨道角动量的耦合 自旋与自旋角动量的耦合 下面讨论两个一般角动量的耦合 一、两个角动量的耦合 设 与 分别表示第一和第二粒子的角动 量，即（取 ） 这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算， 属于不同的自由度，因而是彼此对易的： 定义两个角动量之和 这就是两个角动量耦合的一般定义。 利用两个角动量各分量满足的基本对易式， 同上节介绍的方法可以证明 或表成 设 的共同本征态记为 ，即 类似地， 的共同本征态记为 对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量 所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 来展开。 即 可作为体系力学量完全集, 而 是它们的共同本征态。 以共同本征态 为基矢的表象称 为非耦合表象。 1. 非耦合表象 在给定 的情况下， 所以 有 个，即它 们张开 维子空间。 2. 耦合表象 考虑到 也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ，即 以共同本征态 为基矢的表象称为 耦合表象，基矢简记为 。 二、两种耦合表象基矢之间的关系 —CG系数 问题： 当给定 ， 可取哪些值？基矢 与 之间的关系如何？ 1. Clebsch-Gordan系数 令 上式的物理意义是明显的。 我们将展开系数 称之为Clebsch -Gordan系数，简称CG系数。 显然CG系数是 维子空间中耦合 表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换 矩阵元。 考虑到 将上式两边分别作用到下式两边 * 第九章 力学量本征值问题的代数解法 本征值问题的解法 分析解法 代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger因式分解法 升、降算符 一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为 采用自然单位 则 而基本对易式是 令 利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 其逆为 此时能量以 为单位 长度以 为单位 动量以 为单位 将两类算符的关系式 代入一维谐振子的Hamilton量 上式就是Hamilton量的因式分解法，其中 由于 , 而且在任何量子态 下 所以 为正定厄米算符 有 二、Hamilton量的本征值 证明: 设|n为 的本征态( n为正实数)，即 下面证明，若 的本征值为 , 则 的本征值 为(自然单位， ) 利用 及 容易算出 因此 但上式 由此可得 这说明， 也是 的本征态，相应本 征值为 。 如此类推，从 的本征态 出发，逐次 用 运算，可得出 的一系列本征态 相应的本征值为 因为 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。 若设最小本征值为 ，相应的本征态为 则 此时 即 是 的本征值为0的本征态,或 . 此态记为