二非线性方程的数值解法.PPTVIP

反之，设 型 洛比塔法则 ? 其次证明Steffensen迭代是二阶收敛的 由Taylor公式： 在 处展开 则 上式中用 替换 即证 代入上述结果： ? 注意：对本来就是P(1)阶收敛的方法， 改用Stefensen迭代方法优点不多。 取 计算结果如下： 法2 原迭代次数29 法3 原来不收敛 法1 原来不收敛 返回 §4 牛顿法 /* Newton - Raphson Method */ 一、牛顿迭代公式的推导 1、待定参数法 不动点迭代的关键是构造满足收敛条件的迭代函数 一种自然的选择是令 为了加速不动点迭代的收敛过程，应尽可能使迭代函数 在 处有更多阶导数等于零（定理2.5）。 令 现设 取 满足 ? 因此，选取迭代函数 Newton – Raphson迭代格式 称之为牛顿—拉夫森方法，简称牛顿法 原理：将非线性方程线性化 取 x0 ? x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x 之间 2、Taylor展开法/* Taylor’s expansion Method */ 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： x y x* x0 只要 f ?C1，每一步迭代都有 而且 ，则 x*就是 f 的根。 与x轴交点的横坐标 无开方运算，又无除法运算。 例1：?写出求 的Newton迭代格式； ?写出求 的Newton迭代格式,要求公式中既 解： ?等价于求方程 的正根 ?解法一： 等价于求方程 的正根 ? 解法二： 等价于求方程 的正根 ? Th2.7 （局部收敛性） 设 x* 为方程 f (x) =0的根，在包含x*的某个开区间内 连续， 且 ，则存在 x* 的邻域 ，使得任取初值 ，由Newton’s Method产生的序列 以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且 证明：Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则 收敛 由 Taylor 展开： 在单根 /*simple root */ 附近收敛快 ? 只要 ，则令 可得结论。 Th2.5 有根 根唯一 产生的序列单调有界保证收敛 证明： 因为f ?C2[a, b]，由（1）和（2）知f (x) 在[a, b]内有唯一根 下面由条件（1）、（2）分4种情况讨论： ? ? ? ? 仅证明第一种情况，其它情况类似讨论 Th2.8 （收敛的充分条件）设f (x) =0 且f ?C2[a, b]，若 (1) f (a) f (b) 0；(2) 在整个[a, b]上 不变号且 ； (3) 选取 x0 ? [a, b] 使得 ； 则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛于方程的根 , 且 由中值定理， 使得 因此 即 在 上单调递增 由 另一方面，由Taylor展开得 介于 、 之间 * 第二章 非线性方程的数值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/ 本章主要内容： 1、二分法 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点） 3、Newton和Steffensen迭代（重点） 4、割线法 5、非线性方程组的迭代解法 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不