五定积分的应用.PPTVIP

定积分求曲边梯形的面积问题回顾 解决步骤 : 3) 求近似和. 1、什么问题可以用定积分解决 ? 2 、如何应用定积分解决问题 ? 第二部分 一、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 二、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例7. 由曲线 例8. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例9. 求底半径为r高为h的圆锥体体积。 例10. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例11. 设 内容小结 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积 作业 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 求侧面积 : 备用题 2. 4. 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : (柱壳法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P188 1 (1), (4); 6; 9 ; 11 (1), (3)。 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 说明: 上式可变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 半圆为 下 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面微元的另一种取法. 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 故在区域 * 第五节 第五章 定积分的应用 一、定积分的微元法 二、 平面图形的面积 三、 旋转体的体积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的微元法 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 作近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四个步骤中，由第二步的近似表示式 可以确定出被积表达式 不妨取 于是 若记 的任一小区间 为 则 称为面积微元，即 于是 表示为 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ; 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为微元法(或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、已知平行截面面积函数的立体体积 一、 平面图形的面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 设曲线 与直线 及 y轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束