五矩阵分解.PPTVIP

5.2.3 QR分解的应用 QR分解可用于求解线性方程组 的最小二乘解. 例如 要求 ，使得方程组 5.3.1 奇异值分解 5.3 奇异值分解 设A是 的非奇异矩阵，由于 是Hermite矩阵，则由Schur分解定理知存在酉矩阵 ，使得 ，其中 是 的特征值。 由上述分析可知AV的各列是相互正交的， 且 令 则 因此U是酉矩阵。 由于 其中 ，于是有 则称 为A的奇异值。 定义5.3.1 设A是 的矩阵， 的特征值为 定理 5.3.1 设A是 的矩阵，rank(A)=r, 则 （1）存在酉矩阵 , 使得 其中 是A的全部非零奇异值。 例 5.3.1 例 5.3.2 其中 (2) （若A可逆）； 定理 5.3.2 设A是 的矩阵，其奇异值分解为 ，则 (1) （最大的奇异值）； (3) 。 5.3.2奇异值分解的应用 (1) 计算线性方程组的最小二乘解 设A是 矩阵，b是n维列向量，考虑如下线性方程组 在很多情形下，上述方程组没有解，因此，我们计算其最小二乘解，即求x使得 最小。 其中U,V是酉矩阵。可以证明2-范数具 有酉不变性，因此 设 的奇异值分解为 ， 由此可知 的最小二乘解即是 的最小二乘解。 * * 5.1 矩阵的LU分解矩阵的LU分解 5.2 QR分解 5.3 奇异值分解 5.4 矩阵的满秩分解 第五章 矩阵分解 本节介绍矩阵的LU分解。LU分解可用于求行列式、逆矩阵、解线性方程组等。 5.1 矩阵的LU分解 A左乘E，即是对A作相应的初等行变换.若用Gauss消去法将矩阵A转化成一个阶梯形矩阵U，相应的初等变换对应的矩阵为 ，则 定理5.1.1　设A是 的矩阵，则存在置换矩阵P使得 其中L是 单位下三角阵，U是 的阶梯形矩阵。 定义5.1.1 　设A是 的矩阵，如果A（或A的某个排列PA）可分解为 (或 其中L是单位下三角阵,U是阶梯形矩阵，则称此分解为A的Doolittle分解。 如果A(或PA)可分解为 (或 其中L是下三角矩阵，U是非零对角元为1的阶梯形矩阵 ，则此称分解为A的Crout分解。 例 5.1.3 例 5.1.4 定理5.1.2　设A是 的正定矩阵，则存在 的下三角阵L使得 此分解称为矩阵A的Cholesky分解。 5.1.2 LU分解的应用 矩阵的LU分解最常应用于求解线性方程组 ，首先我们作分解 ，然后求解方程组 ，求解过程分两步进行： 首先解线性方程组 ，可得 . 例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7 (2) 接着计算原方程组的解 ，即 求解方程组 。 有些时候，线性方程组的系数矩阵不变而右端项发生了变化，若此时已经得到了系数矩阵LU的分解，则当右端项发生变化时，只需求解两个三角方程组即可（ , ），而不必重新进行Gauss消去，这样就可大大节省计算量。 若 是 的精确解，则 即 是 的精确解，从而达到改进解的目的。当然很可能还存在误差，得到的是 ，而不是 。此时设 ，解线性方程组 ，得到 ，将 的解改进为 。 如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 最终会收敛到 的解，通常只需迭代几步就可以得到很精确的解。 5.2 QR分解 QR分解在解决最小二乘问题，特征值的计算等方面有十分重要的应用。 5.2.1 Householder变换 在平面解析几何中，将向量x映射为关于x轴对称的向量y的变换称为关于x轴的镜像变换（见图5.2.1）。设 ，则 其中 ,H是正交矩阵，且detH=-1 图（5.2.1 ） 图（5.2.2） 定义5.2.1 设单位列向量 ，称 矩阵 为Householder矩阵，称Householder矩阵确定的线性变换为Householde