元微分学(省精品课程).PPTVIP

欢迎新同学 高等数学简介 高等数学的研究对象 高等数学的产生 数学的发展史 芝诺悖论 两分法悖论 飞毛腿追不上乌龟悖论 游行队伍悖论 罗素悖论 数学的发展趋势 数学的应用 作战模型　　　　　　　　　——微分方程的应用 灰色预测 层次分析 海底曲面拟合 一元微分学 第一章 微积分研究的对象 ——函数 §1 集合与映射 　　　 １．常用数集　Ｒ，Ｎ，Ｚ，Ｑ，Ｒ＋ 　　　２．实数系——实数集Ｒ上考虑实数的各种运算及大小顺序就成了实数系． §1 集合与映射 §1 集合与映射 ５．邻域 §1 集合与映射 三、函数的性质 例如：f(x)=sinx．显然有－１≤f(x)≤１，所以－１为f(x)=sinx 　　　 的下界，1为f(x)=sinx的上界． f(x)=1/x x∈(0,1)．显然f(x)＞１，有下界，但无上界． 函数有界的反面就是函数无界． 　　 思考：函数如果有上界或下界，则上下界唯一吗？ 　　 注意：函数有界是指函数既有上界，又有下界．函数无界应该　　如何理解呢？ 如果取M*=Max{|m|,|M|}，则m≤f(x)≤M可以转化为　　　|f(x)| ≤M*,这就是书上P11的定义． 三、函数的性质 如果x↑，函数f(x)↑，则称f(x)为单调增函数； 如果x↑，但函数f(x)↓，则称f(x)为单调减函数． 严格单增和严格单减的含义． 单调区间 四、复合函数 例４ 已知f(x)=arcsinx，g(x)=x2+1，求f[g(x)]=? 解 : f[g(x)]=arcsin(1+x2)，但此函数不存在 　不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数的．函数复合的必要条件是里层函数的值域必须要和外层函数的定义域有公共部分．只有这样x →g(x) →f[g(x)]，函数才能复合． 　　或者说里层函数的值域与外层函数的定义域的交集不为空时函数才能复合． 五、反函数 反函数的定义： 设f(x)是由Ｄ到R(f)的双射，则对任意y ∈ R(f)，由满射的定义知道，存在x ∈D，使得y=f(x),又由单射的定义知道x唯一．即对任意y ∈R(f)，存在唯一x∈Ｄ，使得y=f(x)．这样确定的函数称为y=f(x)的反函数，记为f -1:R(f)→D. 　　显然，f-1[f(x)]=x f[f-1(y)]=y 直观而言，反函数的反函数就是直接函数． 思考： 直接函数与反函数的图形有何关系？ 是否是每一个函数都有反函数？一个函数要有反函数需要　　什么条件？ §3初等函数 ３．求出x=g(y)的表达式， 然后x和y相互交换， 最后求出反函数的定义域． ４．反函数存在的条件：（１）直接函数是双射 或（２）直接函数严格单调 定义域D=(-∞,+∞) 值域R(f)={c} 有界；单调（不严格）增，减； 偶函数；周期函数（无最小正周期） 5．三角数 ②tanx(=sinx/cosx) 故x ≠(2k+1)π/2 k=0,±1, ±2,… 　　　y=tanx　奇函数，以π为最小正周期， 在(-kπ+ π/2, kπ+π/2)上（严格）单增　 ③ cotx(=cosx/sinx) 故x ≠kπ k=0,±1, ±2,… 　　　y=cotx　奇函数，以π为最小正周期， 在(-kπ, kπ+ π)上（严格）单减 二、初等函数 §４　　双曲函数 结束 小结：（1）N只要求存在，N般与ε有关，记N(ε)； （2）确定N的方法是从|un-A|ε出发，找出n(ε), 然后定出N=[n(ε)]+1. 两个定理 Th1 收敛数列必有界 Th1的逆否定理：无界数列不收敛 Th2 极限唯一 练习：判断下列说法的正误 §2 函数的极限 2．几何图示 ５.几何图示 ７．左右极限的定义及一个重要结论 §3 无穷小量与无穷大量 复习极限的ε-x, ε-δ定义; 左右极限的定义及一个重要结论． 习题：P42 5,6 y=xsinx在[-30π，30π]上的图形 §4　关于极限的几个定理 Th1 （唯一性）极限唯一． Th2 (局部有界性) 在自变量的某种趋势下，如果函数f(x)有极限，则称在自变量的该种趋势下，函数f(x)是有界函数. 其逆不成立．例如　y=sinx 在x→∞时无界，也无极限． §5 极限的运算法则 复习：无穷大与无穷小的定义及其关系； 关于极限的四个性质：唯一性； 局部