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六线性空间
* * §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间 §6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和 引入 有两种情形: 由维数公式 设 为线性空间V的两个子空间, 此时 即, 必含非零向量. 情形2)是子空间的和的一种特殊情况 直和 此时 不含非零向量,即 一、直和的定义 设 为线性空间V的两个子空间,若和 是唯一的,和 就称为直和,记作 注: 若有 则 ① 分解式 唯一的,意即 中每个向量 的分解式 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如,R3的子空间 这里, 在和 中,向量的分解式不唯一,如 所以和 不是直和. 而在和 中,向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的, 事实上,对 故 是直和. 都只有唯一分解式: 二、直和的判定 分解式唯一,即若 1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量 则必有 证:必要性. 是直和, 的分解式唯一. 而0有分解式 充分性. 故 是直和. 设 ,它有两个分解式 有 其中 于是 由零向量分解成唯一,且 即 的分解式唯一. 2、和 是直和 则有 即 是直和. “ ” 任取 证:“ ” 若 于是零向量可表成 由于 是直和,零向量分解式唯一, 故 证:由维数公式 3、和 是直和 有, 是直和. (由2、得之) 总之,设 为线性空间V的子空间,则下面 四个条件等价: 2)零向量分解式唯一 1) 是直和 3) 4) 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间, 称这样的W为U的一个余子空间. 则必存在一个子空间W,使 证:取U的一组基 把它扩充为V的一组基 则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 注意: 如,在R3中,设 则 但 5、设 分别是线性子空间 的一组基,则 是直和 线性无关. 证:由题设, 若 线性无关, 则它是 的一组基. 从而有 反之,若 直和,则 从而 的秩为r+s . 所以 线性无关. 是直和. 1、定义 中每个向量 的分解式 三、推广 多个子空间的直和 都是线性空间V的子空间,若和 是唯一的,则和 就称为直和,记作 四个条件等价: 2)零向量分解式唯一,即 3) 4) 2、判定 设 都是线性空间V的子空间,则下面 1) 是直和 例1、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维 子空间的直和. 证:设 是 n 维线性空间V的一组基, 则 而 故 得证. 例 2、已知 ,设 2)当 时, 证:1) 任取 有 是 的子空间. 证明:1) 是 的子空间.
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