六线性方程组的直接法.PPTVIP

先看几类特殊三角形方程组的解★ 对角形方程组 若aii≠0,则 xi=bi /aii, i =1,2,…,n。 运算量 O(n)。 ★ 下三角方程组 运算量：因为计算 xi 需要 i 次乘法和除法，所以 ★ 上三角方程组 运算量：因为计算 xi 需要 n -i 次乘法和1次除法，即 n –i+1次乘除，所以 消元法的基本思想就是通过对方程组作初等变换，把一般形式的线性方程组化为等价的易于求解的三角方程组。 ★ 高斯消元法（Gaussian Elimination） 高斯消元法是一种古老的求解线性方程组的方法，它就是通过一系列的初等变换（消元），把线性方程组（6.1）化为等价的上三角方程组（6.5），然后通过回代方法求出原方程组的解。 4 高斯主元素消去法 基本思想：每次消元之前在系数矩阵中按一定的范围选取绝对值最大的元素作为主元素，以便减少舍入误差的影响。 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法 根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法 列主元素法：在待消元的所在列中选择主元，经方程的变换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 全主元素：在全体待选系数中选取主元，则得全主元素法。 主元素法的意义 例6.3 用全主元素法解下列线组 计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1 (5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去x2 得 保留有主元素的方程 列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元，经方程的行交换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 即： 例6.4 用列主元素法解下列线性方程组 (5)- m21(4), (6)- m31(4)得 保留有主元素的方程 其中 （A的主子阵） 反之,可用归纳法证明,如果A的顺序主子式 则 于是得到下述定理： 定理3.5 设 。如果A顺序各阶主子式, ,则A可惟一地分解成 一个单位下三角阵L和一个非奇异的上三角阵U的乘积。 证：由于A各阶主子式不为零,则消元过程能进行到底, 前面已证明将方程组的系数矩阵A用初等变换的方法分解成两个三角矩阵的乘积A=LU的过程。 现仅证明分解的惟一性。 设A有两种LU分解 其中 为单位下三角阵， 为上三角阵 ∵ A的行列式 均为非奇异矩阵,有 上式两边左边同乘 ，右边同乘 得 上式左边为单位下三角阵,右边为上三角阵,故应为单位阵,即 惟一性得证。 把A分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积称为杜利特尔（Doolittle）分解。其中 若把A分解成一个下三角阵L和一个单位上三角阵U的乘积称为（克洛特分解Crout） 其中 6.3.2 用三角分解法解方程组 求解线性方程组Ax=b时,先对非奇异矩阵A进行LU分解使A=LU，那么方程组就化为 LU x=b 从而使问题转化为求解两个简单的的三角方程组 L y=b 求解 y U x=y 求解 x 这就是求解线性方程组的三角分解法的基本思想。下面只介绍杜利特尔（Doolittle）分解法。设A=LU为 由矩阵乘法规则 由此可得U的第1行元素和L的第1列元素 再确定U的第k行元素与L的第k列元素,对于k=2,3, …,n计算：① 计算U的第k行元素 （j=k,k+1,…,n） ② 计算L的第k列元素 （i=k,k+1,…,n） （j=k,k+1,…,n） ① 计算U的第k行元素 固定 k ，对 j = i, i+1, …, n 有 （j=k,k+1,…,n） ② 计算L的第k列元素 同理，固定 k ，对 i = k, k+1, …, n 有 （i=k,k+1,…,n） 利用上述计算公式便可逐步求出U与L的各元素 求解 Ly=b , 即计算: 求解 Ux=y , 即计算： 显然, 当 时, 解Ax=b直接三角分解法计算才能完成。设A为非奇异矩阵, 当 时计算将中断或者当 绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍入误差的积累，因此可采