六统计量及其分布.PPTVIP

第六章 统计量及其分布 总体中所含个体的数目可以是有限的，也可以是 例6 证: (1) 由定理6可知 因为两个样本相互独立, 独立 所以 再由F分布的定义可知 由假设可知 因为两个样本相互独立, 所以 独立 所以 服从正态分布 所以 (2) 当?12 = ?22 =?2时, 即 再根据定理6 再根据?2分布的可加性, 可知 X1*=min{X1, X2, ..., Xn} Xn* =max {X1, X2, ..., Xn} 称X1*为最小项统计量, Xn*为最大项统计量 称Dn*= Xn*?X1*为子样的极差 若n是奇数, 则称 为子样的中值 若n是偶数, 则称 为子样的中值 设(X1, X2,... , X5)为总体X的子样, 今对这个子样进行了三次观察, 其值如下表: 例2 5 10 9 3 8 第三次 8 2 7 6 2 第二次 6 5 10 1 3 第一次 X5 X4 X3 X2 X1 求 , S2及Dn*的观察值 解 7 8.5 7 10 9 8 5 3 第三次 6 8 5 8 7 6 2 2 第二次 9 11.5 5 10 6 5 3 1 第一次 Dn* S2 X5* X4* X3* X2* X1* X 二 抽样分布 (常用统计量的分布) 1 ?2分布 ?2分布是由正态分布派生出来的一种分布. 定义 设随机变量X1, X2,... , Xn相互独立且均服从 N(0 , 1), 则称随机变量 ?2 ? 所服从的分布为自由度是n的?2 分布. ?2 (n) ?2~ 记为 定理3 随机变量 ?2 的分布密度函数为 n取不同值时的?2 分布 的图形 *例3? 相互独立, 都服从 若 正态分布 则 ?证: 令 i=1, 2,..., n 则 又因为 Xi ~ 所以 Yi ~N(0, 1) 且Y1,Y2,...,Yn 相互独立 所以 ?2 分布具有下列性质： 性质1 性质2 (?2 分布的可加性) 若 且X, Y 相互独立 则 2 t 分布 ( student 分布) 定义 设 X ~ N(0, 1) , Y ~ 且X与Y相互独立， 则称随机变量 所服从的分布 为自由度是n的t分布, 记为T ~ t(n) 定理4 t分布的密度函数为 ( t 分布的密度函数fT(x)的图像参见教材 ) (1) fT(x)是偶函数, 图像关于y 轴对称. 注： (2) t分布曲线很接近标准正态分布曲线. 且当n充分大时，t分布的极限分布是标准正态分布. 所以 (3) 对于较小的n ，t 分布与N (0, 1)分布相差很大. 当n?30时，它们的差别已很小. 可以证明, t 分布的期望和方差分别为 3 F分布 若 随机变量X与Y相互独立，且 则称随机变量 所服从的分布为F分布,记为 其中m称为第一自由度, n称为第二自由度. 定理5 F分布的密度函数为 推论：若 F~F(m , n) , 则 证: 因为 令 ( F分布的密度fF(x)图像参见教材 ) 可以证明, F分布的期望和方差分别为 4. 概率分布的分位数 设连续型随机变量X的分布函数为F(x), 0p1 若实数?满足 P{X ??}=F(?)=p 则称实数?为X的概率分布的p分位数. 例如, 标准正态分布N(0, 1)的p分位数 即是满足 的实数? 也就是说, N(0, 1)的密度曲线下, ?的左边的 面积恰好等于p. 上侧分位数: P{X ???}=? 满足 的实数??称为随机变 量X 的上侧?分位数. N(0, 1), t分布, ?2分布, F分布的上侧?分位数 通常记为u? , t? , ??2 , F? , 这些数值可以查表. 上侧分位数与分位数的关系: 即??也是X 的1 ? ?分位数. 则有 若X的上侧?分位数为?? , P{X ???}=? P{X ??}=1? P{X ???}= 1 ? ? 双侧?分位数?1 ,?2 , 是指满足 P{X ?1}= 和 P{X ??2}= 的实数?1 ,?2 显然, ?1是X的 ?2是X的上侧 分位数, 分位数 注意: 若X~N(a, ?2), 要求X的下侧分位数?? ,可化为求 N(0, 1)的分位数 此时, 所以 即 (2) 若T~t(n), t? (n)表示下侧分位数, 根据t分布的对称性 P{T ?t? (n) }=P{T t? (n) }= 1?P{T? t? (n) }=1?? 所以 ?t? (n)=t1?? (n) (3) 若 F?(m,n)表示上侧分位数,则有 F?(m,n) 证明: 若 F ~ F (m,n), 则有 所以 例4 当 n =25