关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵.PPTVIP

15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 一、有向图 * 电路的图是电路拓扑结构的抽象描述，若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。 有向图的性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。 i3 i4 i5 i2 i6 i1 ① ② ③ ④ 二、关联矩阵 1、支路和结点关联 设一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。 2、关联矩阵 设有向图的结点数为n，支路数为b，且所有结点与支路均加以编号。 于是，该有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶的矩阵，用Aa表示。 它的行对应结点，列对应支路。 它的任一元素ajk定义如下： 它的任一元素ajk定义如下： ajk= +1，表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点； ajk= -1，表示支路k与结点j关联并且它指向结点； ajk= 0，表示支路k与结点j无关联。 Aa= 1 2 3 4 123456 -1 0 +1 0 -1 0 0 +1 +1 -1 0 0 0 -1 +1 0 0 0 +1 -1 0 +1 0 -1 3 4 5 2 6 1 ① ② ③ ④ 3、降阶关联矩阵 当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的。 或者说按Aa的每一列只有+1和-1两个非零元素这一特点。 Aa中的任一行必能从其他(n-1)行导出。 如果把Aa的任一行划去，剩下的(n-1) ×b矩阵用A表示，并称为降阶关联矩阵。 今后主要用这种降阶关联矩阵，往往省去“降阶”二字。 123456 Aa= 1 2 3 4 -1 0 +1 0 -1 0 0 +1 +1 -1 0 0 0 -1 +1 0 0 0 +1 -1 0 +1 0 -1 Aa= 1 2 3 4 123456 -1 0 +1 0 -1 0 0 +1 +1 -1 0 0 0 -1 +1 0 0 0 +1 -1 0 +1 0 -1 降阶关联矩阵 A= -1 0 +1 -1 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 3 4 5 2 6 1 ① ② ③ ④ 被划去的行对应的结点可以当作参考结点。 4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式 电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示 i=[i1 i2 … ib]T Ai = 结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i 因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式 Ai =0 A= -1 0 +1 -1 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 3 4 5 2 6 1 ① ② ③ ④ Ai = i1 i2 i3 i4 i5 i6 = -i1 +i4 +i5 i1 -i2 +i3 -i3 -i4 +i6 =0 0 0 0 = 例如： -1 0 +1 -1 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 5、用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 电路中的b个支路电压可以用一个b阶列向量表示 u=[u1 u2 … ub]T (n-1) 个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示 un=[un1 un2 … un(n-1)]T 用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 u= ATun 上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点电压法的思想。 （注：转置矩阵：A的每一行是AT的每一列） A= -1 0 +1 -1 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 3 4 5 2 6 1 ① ② ③ ④ = u1 u2 u3 u4 u5 u6 = un1 un2 un3 un1 un2 un3 +un3 +un3 -un2 -un2 -un1 -un1 u= ATun 例如： ④是参考节点，电压为零 u= ATun KVL的矩阵形式 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 三、回路矩阵 1、独立回路矩阵：简称回路矩阵。 一回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联。 设有向图的独立回路数为l，支路数为b，对所有独立回路和支路均加以编号，于是， 该有向图的回路矩阵是一个l×b的矩阵，用B表示。 B的行对应一个回路，列对应于支路， 它的任一元素，bjk定义如下： bjk = +1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向一致； bjk = -1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向相反； bjk = 0，表