第5讲蒙特卡洛方法的应用(原稿)讲述.ppt

熊宇乐 y=zeros(1,1000); a=binornd(1,0.4,1,1000);b=binornd(1,0.4,1,1000); c=0;d=0; for i=1:1000 c=c+a(1,i).*b(1,i); y(i)=c/i; end y=y; num=1:1000; plot(num,y) liti2(1,0.4,100) liti2(1,0.4,10000) function proguji=liti5(mm) %mm 是随机实验次数 frq=0; randnum1=unifrnd(0,60,mm,1); randnum2=unifrnd(0,60,mm,1); randnum=randnum1-randnum2; proguji=0; for ii=1:mm if abs(randnum(ii,1))=20 frq=frq+1; end end proguji=frq/mm 圆的面积 单位圆的面积等于 ? 计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ... 无穷级数法 arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... ? /4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 ?/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 ?/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239 Monte-Carlo 方法 谢文贤 西北工业大学理学院 高性能计算中心 2004-05-14 Monte-Carlo 方法 一、MC 的起源和发展 Buffon试验 排队系统模拟：M/G/1排队系统 二、MC 的原理 三、随机数的产生原理与IMSL库 均匀分布U(0,1)的随机数的产生 其他各种分布的随机数的产生 随机过程模拟 四、MC的应用举例 定积分的MC计算 随机微分方程的数值模拟 五、EM算法及其MCMC方法 一、MC 的起源和发展 在大众的心目中，科学的代言人是心不在焉的牛顿或者爆炸式发型的爱因斯坦，但这只是传统形象，比他们更了解现代计算技术的冯·诺伊曼是个衣着考究，风度翩翩的人物，他说：纯粹数学和应用数学的许多分支非常需要计算工具，用以打破目前由于纯粹分析的研究方法不能解决非线性问题而形成的停滞状态。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。 Buffon试验 假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为 的针( )， 则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离 均匀的分布在区间 。上，针与平行线的夹角 （不管相交与否）均匀的分布在区间 上。 因此，针与线相交的充要条件是 Buffon试验 从而针线相交的概率为 根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率 ，从而得到 的估计值。 针与线的位置关系： 排队系统模拟：M/G/1排队系统 服务规则：先到先服务 假设：（１）顾客到达遵循Poisson分布； 　　　（２）服务时间服从一般分布； 　　　（３）到达间隔与服务时间相互独立． 排队系统模拟：M/G/1排队系统 关心的指标： （１）时刻t时，系统中的顾客数；即队长的分布； （２）顾客的等待时间； （３）服务的忙碌程度； （４）．．．．．．． 用最朴素的Monte-Carlo方法可以得到这些指标的估计． 二、MC 的原理 应用Monte Carlo方法求解工程技术问题可以分为两类： 确定性问题 随机性问题 思路： 1、 针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。 2、 根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。 思路： 3、 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4、 按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机