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利用微分方程建立数学模型
6.4 利用微分方程建立数学模型 应用微分方程解实际应用问题，关键是列出方程，其步骤如下： 由几何知识—曲线上一点处的 切线斜率K= y′= tanα 1．根据题意列方程 由物理知识（牛顿第二定律、基尔霍夫定律） 由题设 2. 整理并求出方程的通解 3. 由初始条件求出特解 例6.17 在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾，在时刻t,鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化率与鱼数y及1000-y成正比。已知在池塘放养鱼100尾，3各月后池塘内有鱼250尾，求放养t个月后，池塘内鱼数y(t)的公式 解 依题意得 分离变量得 两边积分得 解得 将初始条件 代入上式，得 再由 得， 放养t个月后，池塘内鱼数y(t)的公式为 例16 过曲线L上任意一点P(x,y)(x0,y0)作PQ垂直于x轴，PR垂直于y轴，作曲线L的切线PT交x轴于T点，要使矩形面积OQPR与三角形PTQ有相同的面积，求曲线L的方程 解 设曲线L的方程为y=y(x)，由于曲线L上任一点P(x,y)的切线都与x轴相交，因此函数y(x)的导数保持同一个符号 因为S OQPR= xy 当y’ 0时，S△ PTQ= 解得曲线L的方程为 当y’ 0时，S△ PTQ= 解得曲线L的方程为 解 建立坐标系如图 例17 单位质量的物体由静止状态下落，假设空气阻力与物体下落速度的平方成正比（比例系数为 ， ）,求速度随时间变化的规律. v o 由牛顿第二定律F= ma， 初始条件 解方程得通解 将初始条件 代入上式，得 . 即 . 则有 解 例18 有一电路如图所示,其中电源电动势 ( , 为常量),电阻 和电感 为常量,在 时合上开关 ,其时电流为零,求此电路中电流 与时间 的函数关系. 由电学知识,电感上 的感应电动势为 ,有 即 * *
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