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[反思感悟] 第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x0的讨论. 类型四 定义域与值域的综合应用 解题准备:函数的定义域?值域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用. 【典例4】 (2009·广东六校联考)已知函数 若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值. [分析] 函数f(x)的定义域因a的取值不同而不同,因此应对a进行讨论. [反思感悟] 对于函数g(x)=ax2+bx,由于a的取值不同,将影响到其值域,所以在研究其定义域?值域时,应对a进行讨论,对每一种情况分别进行讨论,求解. 错源一 求函数值域不考虑定义域 [剖析] 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误. [评析] 处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识. 错源二 “定义域”?“有意义”?“恒成立”混矣! [剖析] 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-∞,1]同函数f(x)在(-∞,1]上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-∞,1],说明f(x)在(-∞,1]上且只在(-∞,1]上有意义. 第五讲 函数的定义域与值域 回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原则: ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合; 原始点疗法 ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: ①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域. (3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出. 2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定. 考点陪练 答案:A 答案:C 3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 答案:A 答案:B 5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( ) A.[-2,2] B.[-4,0] C.[0,4] D.[-1,1] 答案:A 类型一 函数的定义域 解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式. (2)确定函数的定义域 ①当f(x)是整式时,其定义域为R. ②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. ③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合. ④对于x0,x不能为0,因为00无意义. ⑤f(x)=tanx的定义域为 ⑥f(x)=logax(a0且a≠1)的定义域为{x|x0}. ⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析. ⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. ⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由02x+11得出x的范围即为所求. [分析] 只需要使解析式有意义,列不等式组求解. 类型二 复合函数的定义域 解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用axb,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是:利用ag(x)b,求得x的范围,此即为f[