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一、连续性的定义 一、连续性的定义 函数y=f(x)在点x0处连续?函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续． 四、函数的间断点 * §1．5 连续函数 一、连续性的定义 四、函数间断点的分类 变量的增量、 函数连续的定义、 左右连续与连续的关系、 连续函数举例 间断点的定义、 间断点的类型 左右连续性、 二、复合函数的连续性 三、反函数的连续性 复合函数的连续性、初等函数的连续性 f(x0) f(x0+Dx) Dx Dy x0+Dx y=f(x) x0 x y O 设函数y=f(x)在点x0的某一个 邻域内是有定义的． 当自变量x 在 这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数 y 相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)， 因此函数y的对应增量为 Dy = f(x0+Dx)- f(x0)． 设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差 u2-u1就叫做变量u 的增量，记作Du ，即Du =u2-u1． 变量的增量: 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量 的增量Dx =x-x0趋于零时，对应的函数的增量 Dy = f(x0+Dx)- f(x0) 也趋于零，即 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续． 等价关系： 这是因为:记 则 于是 定义 一、连续性的定义 例1 函数 在R上都是连续函数. 在 上是连续函数. 函数 在每个整数点都不连续. -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x y 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y=[x] 狄利克雷函数处处不连续. 而在其他点是连续的. 用e-d语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意 给定义的正数e ，总存在着正数d ，使得对于适合不等式 |x-x0|d 的一切x ，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-f(x0)|e ， 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续． 讨论： 如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？ 函数 在 连续 和极限定义比较,此处不再要求 例2 若函数 内有定义,且满足李普希茨条件: 其中L 0为常数,求证 内连续. 证 左右连续性： 左右连续与连续的关系： 函数在区间上的连续性： 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函 数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函 数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 定义 设函数 例 函数y ={x}= x－[x]在每个 整数点n右连续,但不左连续. 0 1 2 3 x y 又, 函数y ={x}= x－[x]在区间 [0,1/2]上是连续函数,但它在区间[0,1] 上不是连续函数. 定理1 由极限的四则运算性质,立即推出函数的四则运算保持函数 的连续性.即有 4．函数y=cos x 在区间(-?，+?)内是连续的． 3．函数y=sin x 在区间(-?，+?)内是连续的． 1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-?，+?)内是 连续的．这是因为 证 当 当 二．复合函数的连续性 定理2 证 设 证 例 而对这个 ( ) ( ) ( ) 定理3 定理2与定理3的区别:定理3中,不一定有 即函数 在定理2中这是必须的. 例4 求极限 此定理的意义:在定理条件下,”极限号”与”函数号”可交换. 例5 求极限 例6 求极限 三．反函数的连续性 定义（单调函数）: 下面定理指出了连续函数与单调函数的一个关系. 定理４ O a x1 x0 x2 b x d