实变函数中函数下半连续的等价问题.doc

函数下半连续与其某相关闭集之间的等价问题 【摘要】本文利用函数下半连续的定义推导相关集合为闭集, 又用闭集的相关定义和定理先用反证法证出函数的连续性, 进一步证明其为下半连续的, 进而得出函数下半连续与相关闭集合的等价关系. 【关键词】下半连续、聚点、导集、闭集、下极限、等价. 引言及预备知识 首先, 虽然已了解到对于原命题的一种解法,但是个人始终觉得原命题有错, 所以仍然以个人观点来研究此题,原命题是：上的实函数称为是下半连续的, 如果对于, 都有 ＝ , (1) 试证明：下半连续等价于对于, 集合是中闭集, 也等价于集合是中闭集. 应改为：上的实函数称为是下半连续的, 如果对于, 都 有 ＝ , (2) 试证明：下半连续等价于对于, 集合是中闭集, 也等价于集合是中闭集. 由于题目牵涉到下半连续和闭集, 所以我们有必要先有一些下半连续的定义及闭集的相关定义、定理的基础准备,下面证明中提到的均表示某集合. 定义 1 若对任意,中总有中除外的点, 即, 则称为的聚点. 且, 不难看到, 如果对任意, , 则中一定含中无穷多个点. 定义2 若则的聚点全体记作, 称为的导集, 称为的闭包, 记为. 定理1 的充要条件是为的一个极限点, 即存在一串互异的, 使得 . 定义3 若则称为闭集. 定义4 上的实函数称为是下半连续的, 如果对于, 都有 　　　　 ＝. (3)　　　　　　　　　　　 2.主要结论及其证明 上的实函数称为是下半连续的, 如果对于, 都有 　　　　 ＝, (4) 试证明：下半连续等价于对于, 集合是中闭集, 也等价于集合是中闭集. 证明 1) 先证下半连续等价于对于, 集合是中闭集.令. 　 是下半连续的 有 ＝ , (5) 对, 若存在一列点列, 且满足, 即 或者 (6) 就有, 则, 从而, 那么这个点, 所以得到是闭集, 即, 集合是中闭集 先证连续： 用反证法： 假设, 在点不连续, 则存在, , 令=, 则有 而, 事实上由于就有, 这与是闭集相矛盾, 所以是连续的. 再证是下半连续的:若, 集合是中闭集, 则有, , 都存在一列点列, 满足 由前面所证得是连续的, 可得, 那么必然就有 , (7) 也就有 . (8) 满足的是对任意的都有 不妨取 = , (9) 则也是任意的一个, 从而就得到了 , (11) 也即, 都有 ＝, (12) 那么就得到是下半连续的. 综上所述：下半连续等价于对于, 集合是中闭集. 2) 下面证明下半连续等价于对于, 集合是中闭集. 假设, 则由1）可得下半连续等价于是闭集, 则, 存在点列, 有. 又假设, 由于是任意取的, 且有, 对于点列, 每个对应一个, 其中满足, 从而, 且, 是闭集, 反之亦然, 就是说是闭集可等价于是闭集, 那么下半连续等价于对于, 集合是中闭集. 最后综合1)、2)命题得证, 即上的实函数下半连续等价于对于, 集合是中闭集, 也等价于集合是中闭集. □