北京工业大学高数上课件七.PPTVIP

作业 P159 习题3.7 1，2（2） 3， 7 （1）（2） 3.7 泰勒公式 在实际问题中, 往往希望用一些简单的函数 来近似代替复杂的函数. 设 在 处可导, 由微分得 而多项式函数就是最简单的一类初等函数. 我们首先考虑函数在一点附近的多项式逼近. 令 则(3-1)式可简写为 (3-2)式可以理解为： 即 问题: 为什么在点 附近用 而不用其 它的一次多项式作为 的近似? 由(3-2)式, 有 如果 在点 可导, 则在点 附近 可用一 次多项式 来近似. 对于任意的 的一次多项式 如果 则有 于是 上式说明: 在点 附近用 作为 的 近似,其近似度在所有一次多项式中是最高的. 当 比较复杂时,这种一次多项式的近似 往往不能满足计算精度的要求,应该考虑用高次 多项式来近似. 猜测: 当 存在时,存在 的n次多项式 满足 于是有 用定义求导数得 (3-3)式称为 在 处的n 阶泰勒多项式. 定理3.13 设 存在, 称为皮亚诺型余项. 则 泰勒多项式. 其中 为 在 关于 的n 阶 (3-4)式可写成 其中 (3-4)式称为带皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式． 例1 设函数 证明: 当k 为奇数时, 不是 的极值点; 当k 为偶数, 且 时, 是 的极 时, 是的极大值点. 小值点, 证 由泰勒公式有 即 因此当k 为奇数时, 不是 的极值点; 当k 为偶数, 且 时, 是 的极小点; 是 的极大点. 定理3.14 (泰勒中值定理) 那么 使得 其中 称为拉格朗日型余项. 如果 公式(3-5)变成 其中 ( 3-7)式称为f (x)的n阶麦克劳林多项式,(3-8)式称为 则 f (x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式. 而 误差估计式为 称为f (x)的带皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式. 麦克劳林公式的用法: 解 代入公式, 得 例2 求 的n 阶麦克劳林公式. 于是 注意到 估计误差 其误差 取 常用函数的麦克劳林公式 解 例3 将 的多项式. 例4 设 在闭区间[a, b]上具有二阶导数, 且 则在区间(a, b)内至少存在一点 使 证 利用泰勒公式 两式相减, 得 于是 因此 例5 设 在闭区间 上三次可微, 且 证明: 至少存在一点 使得 证 利用泰勒公式 两式相减，得 由此可得 原命题得证 例6 证明不等式 的三阶麦克劳林公式为 证 其中 故 解 例7 计算