实验七多元函数微分数学实验课件习题答案.doc

天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称 实验七 多元函数微分 所属课程名称 数学实验 实 验 类 型 微积分实验 实 验 日 期 2013-4-26 班 级 10数应（2）班 学 号 291010836 姓 名 吴保石 成 绩 一、实验概述： 【实验目的】 1.掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法； 2.理解和掌握曲面的切平面的作法； 3.通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念． 【实验原理】 1．求偏导数命令D既可以用于求一元函数的导数，也可以用于求多元函数的偏导数．用于求偏导数时， 若求对的偏导数，输入D[f[x,y,z],x] 若求对的偏导数，输入D[f[x,y,z],y] 若求对的二阶偏导数，输入D[f[x,y,z],{x,2}] 若求对的混合偏导数，输入D[f[x,y,z],x,y] 其余类推． 2．求全微分命令Dt 　该命令只用于求二元函数的全微分时，其形式为 Dt[f[x,y]] 其输出的表达式中含有Dt[x]，Dt[y]，它们分别表示自变量的微分dx，dy．若函数的表达式中还含有其他用字符表示的常数，例如a，则Dt[f[x，y]]的输出中还会有Dt[a]．若采用选项Constants一{ a}，就可以得到正确结果，即只要输入 Dt[f[ｘ，ｙ]，Constants一{a}] 3．在Oxy平面上作二元函数的等高线命令ContourPlot 　命令ContourPlot的基本形式是 ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}] 例如输入 ContourPlot[x^2-y^2，{x，-2，2}，{y，-2，2}] 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．求多元函数的偏导数与全微分 例7.1　设，求 　Clear[z]； z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2； D[z，x] D[z，y] D[z，{x，2}] D[z，x，y]，求和全微分 　　　Clear[z]； z=(1+x*y)^y； D[z，x] D[z，y] Dt[z] 　　例7.3　设，其中是常数，求 Clear[z，a]； z=(a+x*y)^y； wf=Dt[z，Constants?{a}]//Simplifywf/.{ Dt[x，Constants?{a}]?dx，Dt[y，Constants?{a}] ?dy}，求 　　　eq1=D[x??E^u+u*Sin[v]，x，NonConstants?{u，v}] eq2=D[y??E^u-u*Cos[v]，x，NonConstants?{u，v}] Solve[{eq1，eq2}，{D[u，x，NonConstants?{u，v}]，D[v，x，NonConstants?{u，v}]}]//Simplify在点处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一图形里． 　　　Clear[k，z]； k[x_，y_]=4/(x^2+y^2+1)； kx=D[k[x，y]，x]/.{x?1/4，y?1/2}； ky=D[k[x，y]，y]/.{x?1/4，y?1/2}； z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4，1/2]； qm=Plot3D[k[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，PlotRange-{0，4}，BoxRatios?{1，1，1}，PlotPoints?30，DisplayFunction?Identity]； qpm=Plot3D[z，{x，-2，2}，{y，-2，2}，DisplayFunction?Identity]； Show[qm，qpm，DisplayFunction?$DisplayFunction]7.6　求的极值 　　　Clear[f]； f[x_，y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x； fx=D[f[x，y]，x] fy=D[f[x，y]，y] critpts=Solve[{fx??0，fy??0}，{x，y}]fxx=D[f[x，y]，{x，2}]； fyy=D[f[x，y]，{y，2}]； fxy=D[f