北师大版高中数学选修《推理与证明》数学归纳法.PPTVIP

* * 北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》 §4 数学归纳法 数学归纳法(1) 法门高中姚连省制作 数学归纳法(1) 一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 问题 2: 完全归纳法 不完全归纳法 … 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一 费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 ……100年后… 问题情境二 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 ?多米诺骨牌课件演示 （2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌） 问题情境三 思考:问题2中证明数列的通项公式 这个猜想 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗? 由条件知,n=1时猜想成立. 如果n=k时猜想成立,即 ,那么当n=k+1时猜 想也成立,即 事实上, 即n=k+1时猜想也成立. 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 这种证明方法叫做 数学归纳法 数学归纳法 【归纳递推】 【归纳奠基】 框图表示 例1.用数学归纳法证明 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n＝1时，左边所得项是 ； 当n＝2时，左边所得项是 ； 1+2+3 1+2+3+4+5 A、1 B、1+a C、1+a+a2 D、1+a+a2+a3 C 课堂练习： 例2.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。 凑假设 结论 从n=k到n=k+1有什么变化 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据　　　n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 例3 用数学归纳法证明 【分析】(1) 第一步应做什么?本题的n0应取多少? n0=1, （2）在证传递性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 2 （3）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 2 ? 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)