北邮复变函数课件,.PPTVIP

一. 孤立奇点的概念与分类 (1)可去奇点 (3)本性奇点 3.函数的零点与极点的关系 二. 函数在无穷远点的性态 三. 留数的引入 3留数的计算 四. 无穷远点的留数 证: 两边求 阶导数得 + (含有 正幂的项) 因此 设 若 设 及 在 都解析， 因为 的一级 为 那么 且 规则 3 为 的一级极点, 证: 所以 极点。 所以 在 解析且 为 的一级极点, 例 1. 求 在 的留数. 解: 是 的 n 级极点, 因此 例 2. 求 在 的留数. 解: 因此 * * §1 孤立奇点 第五章 留数 §2 留数 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 孤立奇点 奇点 1.定义 例1 指出函数 在点 的奇点特性. 解 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 不是孤立奇点. 所以 2.孤立奇点的分类及判别 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: (1)可去奇点; (2)极点; (3)本性奇点. 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. (2)极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 其中关于 的最高幂为 即 级极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 极点的判定方法 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. (a) 由定义判别 (b) 由定义的等价形式判别 (c) 利用极限 判断 . 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 定义 (1)零点的定义 不恒等于零的解析函数 如果 能表示成 其中 在 解析且 m为某一正整数, 那末 称为 的 m 级零点. (2)零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: 设 的泰勒展开式为: 如果 在 解析, 那末 为 的 级 如果 为 的 级零点 其中 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: 并且 充分性自证 . (3)零点与极点的关系 定理 如果 是 的m 级极点, 那末 就是 的 m 级零点. 反过来也成立. 证 如果 是 的 m 级极点, 则有 当 时 , 函数 在 解析且 由于 只要令 那末 的 m 级零点. 就是 反之如果 的 m 级零点, 是 那末 当 时, 解析且 所以 是 的 m 级极点. 例2 说明 为 的可去奇点. 解 所以 为 的可去奇点. 无负幂项 另解 的可去奇点. 为 例3 函数 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 的点, 这些奇点是 是孤立奇点. 的一级极点. 即 解 解析且 所以 不是二级极点, 而是一级极点. 例4 问 是 的二级极点吗? 解： 含有无穷多个z的负幂项 同时 不存在. 例5 问 是 的何种孤立奇点? 所以z=0为本性奇点。 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数特点 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 关于 的最高幂 为 1.定义： 如果函数 在无穷远点 的去心 邻域 内解析, 孤立奇点. R x y o 为 则称点 的 作变换 此变换将: 映射为 扩充 z 平面 扩充 t 平面 映射为 映射为 映射为 结论: 在去心邻域 内对函数 的研究 在去心邻域 内对函数 的研究 因为 在去心邻域 内是解析的, 所以 是 的孤立奇点. 规定: m 级极点或本性奇点. 性奇点, 的可去奇点、m 级极点或本 如果 t = 0 是 是 的可去奇点、 那么就称点 1)不含正幂项; 2)含有有限多的正幂项且 为最高正幂; 3)含有无穷多的正幂项; 那么 是 的 1)可去奇点; 2) m 级极点; 3)本性奇点. (利用洛朗级数的特点) 2. 判别方法: 在 内的洛朗级数中: 如果 例1.函数 在圆环域 展开式为: 展式中不含正幂项， 故 是 的可去奇点 . 内的洛朗 例2.函数 的展开式: 其中含无穷多个正幂项， 故 是 的本性奇点. 设 为 的一个孤立奇点; 内的洛朗级数为 在 . C 为某邻域 内包含 的任一正向简单闭曲线。 考虑积分 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 的系数。 洛朗级数中负幂项 1 0 1 ) ( - - - z z c z z f i c C d ) ( 2 1 1 ò p = - 或 要计算积分 的系数。 只需知道 f 的洛朗级数中 1 0 )